Оценить среднее

[2old]

Случайные величины $X,Y,Z$ имеют нулевые математические ожидания, дисперсии $\sigma^2$ и попарно некоррелированы. Чему равны максимальное и минимальное значение величины $\mathbb{E}XYZ$?
Я начал оценивать так:

$$ \operatorname{cov}{XY,Z}=\mathbb{E}XYZ-\mathbb{E}XY\mathbb{E}Z=\mathbb{E}XYZ $$

$$ \operatorname{cov}^2{XY,Z}\leq \sigma^2\mathbb{D}XY $$

$$ \mathbb{D}XY=\mathbb{E}X^2Y^2-(\mathbb{E}XY)^2=\operatorname{cov}{X^2,Y^2}+\mathbb{D}Y\mathbb{D}X $$

Но про $\operatorname{cov}{X^2,Y^2}$ я не могу придумать, как оценить

[Евгений Машеров]

Подсказка 1: Некоррелировано и независимо это не одно и то же.
Подсказка 2: Пусть величины $X$, $Y$, $Z$ принимают значения $\sigma$ и $-\sigma$

[2old]

Евгений Машеров
1. Первое я понимаю, если бы они были независимы хотябы попарно, то $\operatorname{cov}X^2,Y^2$ тоже было бы равно нулю и на этом успех.
2. Тогда они зависимы, но некоррелированы и $\operatorname{cov}X^2,Y^2=0$ тоже. А почему это дает максимум, я не понимаю?

[Евгений Машеров]

Подсказка 3: Бывают величины, попарно не только некоррелированные, но и независимые. А в совокупности зависимые.
Подсказка 4: Если правильно выбрать величины, матожидание считать будет не просто, а очень просто.

[2old]

Евгений Машеров
Я к сожалению про каждую отдельно знаю, но в целом не складываются :(

[Евгений Машеров]

Я опасно приближаюсь к наказанию за решение задачи для студента...
Давайте построим три такие величины. Нам нужно нулевое матожидание, проще всего использовать симметрию. Чтобы произведения были побольше, выберем максимальные по абсолютной величине значения. Плюс сигма и минус сигма. Первые две пусть всё-таки будут независимы. А теперь назначим, когда третья, принимающая те же значения, будет положительна и отрицательна, но чтобы некоррелированность оставалась.

[--mS--]

До решения ещё очень далеко. Невозможно построить две некоррелированные симметричные случайные величины с двумя значениями, чтобы они оказались зависимыми, как предлагает Евгений Машеров.

[Евгений Машеров]

Прошу прощения, а где у меня зависимость этих двух величин?

Евгений Машеров в сообщении #1083755 писал(а):

Первые две пусть всё-таки будут независимы.

[2old]

Напишем для максимума, для минимума будет также, только $Z'=-Z$.
Такие три будут $X=Y$, принимающие равновероятно значения $\sigma,-\sigma$. И $Z=\frac{XY}{\sigma}$. Тогда $X,Y,Z$ удовлетворяют всем условиям и $EX^2Y^2\frac{1}{\sigma}=\sigma^3$
Только почему это максимум?

[--mS--]

Евгений Машеров в сообщении #1083797 писал(а):

Прошу прощения, а где у меня зависимость этих двух величин?

Да нет, прошу прощения: это мне показалось, что Вы хотите строить зависимые $X$ и $Z$, $Y$ и $Z$. На самом деле изначально речь и шла о попарно независимых, но зависимых в совокупности.