Терминология в теории линейных пространств

[Anton_Peplov]

Как называется такая метрика $\rho$ в линейном пространстве, что для любых $x, y, z$ верно $\rho(x + z, y + z) = \rho(x, y)$ (т.е. сохраняющая расстояния при параллельном переносе)?

Я бы назвал ее трансляционно инвариантной или просто трансляционной, но Google в ответ на эти запросы выдал такой адский ад, что я бежал из него в ужасе.
Понятно также, что частным случаем такой метрики является норма разности в нормированном пространстве: $\rho(x, y) = ||x - y||$. Но именно частным, ибо есть контрпример: дискретная метрика сохраняется при параллельном переносе, но не является нормой разности элементов. Евклидовы пространства тут тем более ни при чем.

Одним словом - есть ли термин, или его нет, потому что он никому не нужен?

[Nsk]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Transla ... ant_metric
Не увидел никакого "адского ада"

[2old]

В литературе по кластеризации мне встречались shift-invarianсe и translation-invariance metric

[Anton_Peplov]

Nsk
На английском гуглили? А я на русском.

[Anton_Peplov]

Новый вопрос.

Рассмотрим линейное пространство $L$ и его подпространство $L^\prime$ коразмерности 1. Выделим точку $a \in L$. Как известно (см. Колмогоров, Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа), множество всех сумм вида $x + a | x \in L^\prime$ называется гиперплоскостью, параллельной подпространству $L^\prime$.

Собственно, вопрос, почему оно так называется, ведь даже на евклидовой плоскости $xOy$ такая терминология не отвечает наглядным представлениям о параллельности. Так, если взять в качестве $L^\prime$ ось абсцисс, а в качестве $a$ орту оси ординат (т.е. вектор $j = (0, 1)$), легко видеть, что результаты сложения разных $x \in L^\prime$ с $a$ не параллельны не только оси абсцисс, но и друг другу. Именно, они представляют собой гипотенузы прямоугольных треугольников с вертикальным катетом $j$ и разными горизонтальными катетами.

Каким свойством, присущим параллельности в ее "школьном" смысле, обладают параллельные гиперплоскости?

[SomePupil]

Anton_Peplov в сообщении #1190245 писал(а):

Именно, они представляют собой гипотенузы прямоугольных треугольников с разными прилежащими катетами.

Концы этих гипотенуз составляют прямую, параллельную оси абсцисс. Очень похоже на факторпространства из второй части "Введения в алгебру" Кострикина.

[Xaositect]

Векторы $x + a$, естественно, не параллельны $L'$. Но мы же смотрим на множество всех этих векторов.
В Вашем примере, если откладывать все $x + a$ от начала координат, то получится прямая $y = 1$, параллельная оси абсцисс.

[Anton_Peplov]

Ах, вот оно что. Чтобы заиграли наглядные представления, в данном случае надо мыслить элементы линейного пространства не радиус-векторами, а точками (обычно наоборот!). Спасибо.

-- 06.02.2017, 12:28 --

SomePupil в сообщении #1190247 писал(а):

Очень похоже на факторпространства из второй части "Введения в алгебру" Кострикина.

Собственно, о фактор-пространствах (и линейных функционалах) и речь.

[Xaositect]

Это потому, что это на самом деле аффинная вещь.

[Anton_Peplov]

Ну вот, теперь еще и афинную геометрию ботать придется:)

[arseniiv]

Ну, это не очень сложно, потому что это просто множество с действием векторного пространства, и с очень хорошим действием, в результате чего можно определить такое действие на самом же векторном пространстве. Идейно это будет «забывание нуля» и потеря памяти о том, что можно было находить произвольные линейные комбинации, а не только аффинные комбинации — у которых веса складываются в единицу. В результате элементы а. п. — замечательная модель точек элементарной геометрии. Все рассмотрения элементов л. п. как таких точек на деле сводятся к рассмотрению именно какого-то аффинного пространства.

(Кроме обычного определения с участием л. п., можно определить а. п. без него, подобно определению самого л. п. взяв опять же поле, две операции и наложив на них ограничения. Эти операции получаются из сложения и умножения на скаляр в какой-то степени аналогично, но об этом можно поговорить отдельно в другой теме, и, кажется, аксиомы для них я даже где-то один раз выписал из интереса. Особой пользы от такого определения, правда, не видно.)