2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Привести квадратичную форму к диагональному виду.
Сообщение17.12.2015, 16:47 


14/10/15
120
У меня такой вопрос. Вот я знаю как ортогональным преобразованием приводить квадратичную форму к диагональному виду (то есть знаю алгоритм. Но мне не очевидно - почему так).

Почему матрица с собственными числами на диагонали есть матрица новой квадратичной формы после преобразования $x=Sy$, где $S$ -- матрица из нормированных собственных векторов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести квадратичную форму к диагональному виду.
Сообщение17.12.2015, 17:21 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Вот была матрица $A$ с (нормированными) собственными векторами $v_1,\ldots,v_n$ и соответствующими значениями $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Тогда $S=(v_1,\ldots,v_n)$.
После замены координат новая матрица есть $S^{T}AS$. При умножении $A$ на $S$ мы по сути умножаем $A$ на каждый столбец матрицы $S$, и результат этого умножения будет столбцом матрицы $AS$, то есть $AS=(\lambda_1 v_1,\ldots,\lambda_n v_n)$. Далее мы умножаем на $S^{T}$ слева. Чтобы понять, почему получится диагональная матрица, воспользуйтесь свойствами собственных векторов симметричной матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести квадратичную форму к диагональному виду.
Сообщение17.12.2015, 21:27 


14/10/15
120
NSKuber в сообщении #1082998 писал(а):
Вот была матрица $A$ с (нормированными) собственными векторами $v_1,\ldots,v_n$ и соответствующими значениями $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Тогда $S=(v_1,\ldots,v_n)$.
После замены координат новая матрица есть $S^{T}AS$. При умножении $A$ на $S$ мы по сути умножаем $A$ на каждый столбец матрицы $S$, и результат этого умножения будет столбцом матрицы $AS$, то есть $AS=(\lambda_1 v_1,\ldots,\lambda_n v_n)$. Далее мы умножаем на $S^{T}$ слева. Чтобы понять, почему получится диагональная матрица, воспользуйтесь свойствами собственных векторов симметричной матрицы.

Спасибо, я понял. Пользоваться нужно ортогональностью собственных векторов, то есть тем, что $v_i\cdot v_j=0$ при $i\ne j$, при $i=j$ будет $v_i\cdot v_j=1$. Только вот интересно -- это только у симметричной матрицы собственные вектора ортогональны или симметричность -- не есть обязательное условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести квадратичную форму к диагональному виду.
Сообщение18.12.2015, 08:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5728
Новосибирск
mr.tumkan2015 в сообщении #1083057 писал(а):
то только у симметричной матрицы собственные вектора ортогональны или симметричность

И это неверно. У симметрической матрицы собственные векторы, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.
У несимметричной матрицы собственные векторы с разными собственными значениями могут оказаться ортогональными, но не обязаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести квадратичную форму к диагональному виду.
Сообщение18.12.2015, 10:41 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Но если у $n\times n$ матрицы есть $n$ собственных векторов, и все они попарно ортогональны, то матрица симметрична. Доказать можно теми же рассуждениями, что были приведены по исходному вопросу, сделав ещё один маленький шажок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести квадратичную форму к диагональному виду.
Сообщение18.12.2015, 11:32 


14/10/15
120
Спасибо. А если у нас есть матрица $3\times 3$, у которой характерестическое уравнение имеет лишь один вещественный корень, например оно получилось такое $(\lambda^2+1)(\lambda-1)$, то как тогда быть с собственными векторами и как приводить к диагональному виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Привести квадратичную форму к диагональному виду.
Сообщение18.12.2015, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5728
Новосибирск
В вещественном случае такое возможно только в случае несимметричной матрицы.
В общем случае любая квадратная матрица над полем комплексных чисел приводится к жордановой форме. Только приведение там другое (называемое подобием): $M=T^{-1}JT.$ Симметрия и вещественность обеспечивает возможность выбора ортогональной матрицы $T$.

-- Пт дек 18, 2015 15:52:25 --

Ваша матрица будет подобна диагональной c числами $1, i, -i$ на диагонали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group