Коммутатор спиновых операторов

[Edmonton]

Рассматривается система из двух частиц со спином $\frac{1}{2}.$ Требуется определить коммутатор $\left[ \hat{S}_{\Sigma}^2; \hat{S}_{1z}\right] ,$ используя матрицы данных операторов.

Через простое раскрытие коммутатора по определению я установил, что эти две величины не коммутируют, однако у меня возникают проблемы с тем, как правильно записать матрицу $\hat{S}_{1z}$. В обычном случае она ведь размеров $2 \times 2$ и имеет вид $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$, но тут её надо правильно расширить на 4-ехмерное пространство. Сначала я думал, что это просто делается как произведение Кронекера $\hat{S}_{1z} \otimes \hat{1}_2, $ но данная матрица выходит диагональной что невозможно, т.к. другая матрица также диагональна:

$S_{\Sigma} = \left( \begin{array}{cccc} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2& 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{array} \right) $

а потому их коммутатор есть равен 0 (из суммы чисел вычитается сумма тех же чисел). Подскажите пожалуйста, из каких соображений надо расширять матрицу $\hat{S}_{1z},$ чтобы получить правильный результат?

[Cos(x-pi/2)]

Edmonton в сообщении #1082996 писал(а):

другая матрица также диагональна:

Тогда в этом месте какая-то ошибка. Видимо, речь у Вас о матрице квадрата векторного оператора суммарного спина в базисе типа $|S_{1z}\rangle \otimes \ |S_{2z}\rangle .$

В оператор квадрата суммарного спина, т.е. в оператор $(\hat{\vec{S_1}}+\hat{\vec{S_2}})^2,$ входит слагаемое со скалярным произведением векторных операторов спина одиночных частиц: $2\hat{\vec{S_1}} \cdot \hat{\vec{S_2}}$

В указанном выше базисе матрица этого операторного слагаемого недиагональна. А в том базисе, в котором квадрат суммарного спина диагонален, окажется недиагональной матрица оператора проекции спина одной частицы $\hat{S}_{1z} \otimes \hat{1}_2.$

[Edmonton]

Cos(x-pi/2)
Действительно, имел в виду матрицу $S_{\Sigma}^2.$
Да, и действительно я запутался с различными базисами.
В том базисе, где диагональна матрица $S_{1z},$ матрица $S_{\Sigma}^2,$ насколько я понимаю, имеет вид:

$$S_{\Sigma}^2=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}.$$

Далее подскажите пожалуйста, вроде нет ошибок в дальнейшем рассуждении, но хотелось бы проверить

Пусть требуется найти базис из общих собственных векторов для операторов $S_{\Sigma}^2$ и $\hat{S}_{z\Sigma}.$ После этого для перевода матрицы $S_{1z}$ в этот базис мы просто стандартно пользуемся формулами для перехода из одного базиса в другой через матрицы перехода, и в этом новом базисе, как и в старом, можно проверять, коммутируют ли операторы $S_{\Sigma}^2$ и $S_{1z}$ через проверку коммутационности соответствующих матриц.

[Cos(x-pi/2)]

Да, всё верно.

Причём, матрицу $\hat{S}_{1z} \otimes \hat{1}_2$ в новом базисе, наверное, проще получить прямо "в лоб", исходя из определения понятия "матричные элементы оператора". То есть, когда Вы найдёте новые 4 базисные состояния $|n\rangle$, то ведь как-то пронумеруете их: $n=1,2,3,4.$ Они будут иметь вид линейных комбинаций состояний $|S_{1z}\rangle \otimes |S_{2z}\rangle ,$ причём - очень простой у них вид, например:

$|1\rangle=|1/2\rangle \otimes |1/2\rangle $

$|2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1/2\rangle \otimes |-1/2\rangle \,+ \, \frac{1}{\sqrt{2}}|-1/2\rangle \otimes |1/2\rangle$

$|3\rangle=|-1/2\rangle \otimes |-1/2\rangle $

$|4\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1/2\rangle \otimes |-1/2\rangle \,-\, \frac{1}{\sqrt{2}}|-1/2\rangle \otimes |1/2\rangle$

Действие же оператора $\hat f = \hat{S}_{1z} \otimes \hat{1}_2$ на состояния вида $|S_{1z}\rangle \otimes |S_{2z}\rangle $ тоже очень просто выглядит: если $S_{1z}=-1/2,$ то состояние умножается на $-1/2,$ а в остальных случаях умножается на $1/2.$

Исходя из этого очень легко вычислить 4 состояния вида $\hat f \, |n\rangle$ и затем скалярно их перемножить со всеми четырьмя $|n'\rangle.$ По определению, матрица оператора $\hat f$ как раз и состоит из таких скалярных произведений: матричные элементы это

$f_{n'n}=\langle n'| \hat f |n \rangle$

В качестве упражнения полезно проверить, что тот же ответ получится и с помощью матрицы перехода от базиса к базису.

[Edmonton]

Cos(x-pi/2)
Большое спасибо, всё получилось!