последовательности, доказательство неравенства

[vladem]

прошу помощи в доказательстве следующего неравенства:

($\frac{n}{e}$)^{n}$\leqslant(n!)$

[gris]

А что попробовали? Ряд для $e$, логарифмы. Из чего следует исходить? А то можно и с помощью формулы Стирлинга доказать.

[vladem]

gris в сообщении #1083010 писал(а):

А что попробовали? Ряд для $e$, логарифмы. Из чего следует исходить? А то можно и с помощью формулы Стирлинга доказать.

во-первых, начали брать сомнения в истинности этого неравенства, т.е первостепенный вопрос: имеет ли оно место хотя бы в пределе?

использовал мат индукцию и оценки для факториала, продвижений нет.

[gris]

В пределе трудно сказать. Ведь обе части устремляются в бесконечность. А для натуральных чисел неравенство выполняется.
Мне кажется, что и индукцию можно попробовать. Что там не получилось? Второй замечательный предел проходили?

[vladem]

gris в сообщении #1083014 писал(а):

В пределе трудно сказать. Ведь обе части устремляются в бесконечность. А для натуральных чисел неравенство выполняется.
Мне кажется, что и индукцию можно попробовать. Что там не получилось? Второй замечательный предел проходили?

индукция привела к достаточности доказательства следующего неравенства:

${e}{n}^{n}\geqslant{(n+1)}^{n}$

на этом шаге и начали брать сомнения.

да, замечательные пределы были, сейчас попробую что-нибудь из него вытянуть.

[gris]

Верно. А теперь подумайте, что такое $e$? Оно у нас впервые появляется (и чаще всего определяется) как предел получающейся у Вас последовательности, если обе части разделить на $n^n$ и объединить скобки. А при доказательстве существования этого предела доказывается монотонность (какая?) данной последовательности. По-моему, через бином Ньютона. Вот это и попробуйте.

[vladem]

gris в сообщении #1083016 писал(а):

Верно. А теперь подумайте, что такое $e$? Оно у нас впервые появляется (и чаще всего определяется) как предел получающейся у Вас последовательности, если обе части разделить на $n^n$ и объединить скобки. А при доказательстве существования этого предела доказывается монотонность (какая?) данной последовательности. По-моему, через бином Ньютона. Вот это и попробуйте.

разобрался, спасибо вам!