2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 последовательности, доказательство неравенства
Сообщение17.12.2015, 18:02 


11/12/14
13
прошу помощи в доказательстве следующего неравенства:

($\frac{n}{e}$)^{n}$\leqslant(n!)$

 Профиль  
                  
 
 Re: последовательности, доказательство неравенства
Сообщение17.12.2015, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А что попробовали? Ряд для $e$, логарифмы. Из чего следует исходить? А то можно и с помощью формулы Стирлинга доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: последовательности, доказательство неравенства
Сообщение17.12.2015, 18:27 


11/12/14
13
gris в сообщении #1083010 писал(а):
А что попробовали? Ряд для $e$, логарифмы. Из чего следует исходить? А то можно и с помощью формулы Стирлинга доказать.


во-первых, начали брать сомнения в истинности этого неравенства, т.е первостепенный вопрос: имеет ли оно место хотя бы в пределе?

использовал мат индукцию и оценки для факториала, продвижений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: последовательности, доказательство неравенства
Сообщение17.12.2015, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
В пределе трудно сказать. Ведь обе части устремляются в бесконечность. А для натуральных чисел неравенство выполняется.
Мне кажется, что и индукцию можно попробовать. Что там не получилось? Второй замечательный предел проходили?

 Профиль  
                  
 
 Re: последовательности, доказательство неравенства
Сообщение17.12.2015, 18:50 


11/12/14
13
gris в сообщении #1083014 писал(а):
В пределе трудно сказать. Ведь обе части устремляются в бесконечность. А для натуральных чисел неравенство выполняется.
Мне кажется, что и индукцию можно попробовать. Что там не получилось? Второй замечательный предел проходили?

индукция привела к достаточности доказательства следующего неравенства:

${e}{n}^{n}\geqslant{(n+1)}^{n}$

на этом шаге и начали брать сомнения.

да, замечательные пределы были, сейчас попробую что-нибудь из него вытянуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: последовательности, доказательство неравенства
Сообщение17.12.2015, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Верно. А теперь подумайте, что такое $e$? Оно у нас впервые появляется (и чаще всего определяется) как предел получающейся у Вас последовательности, если обе части разделить на $n^n$ и объединить скобки. А при доказательстве существования этого предела доказывается монотонность (какая?) данной последовательности. По-моему, через бином Ньютона. Вот это и попробуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: последовательности, доказательство неравенства
Сообщение17.12.2015, 19:14 


11/12/14
13
gris в сообщении #1083016 писал(а):
Верно. А теперь подумайте, что такое $e$? Оно у нас впервые появляется (и чаще всего определяется) как предел получающейся у Вас последовательности, если обе части разделить на $n^n$ и объединить скобки. А при доказательстве существования этого предела доказывается монотонность (какая?) данной последовательности. По-моему, через бином Ньютона. Вот это и попробуйте.

разобрался, спасибо вам!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group