Метод регуляризации Тихонова.

[uliss]

Подскажите, пожалуйста, кто-нить алгоритм решения некорректной СЛАУ методом регуляризации Тихонова.
Я понимаю, что так численно никто не делает, проще написать прогу... Но чтобы написать прогу надо понимать алгоритм..., вот и хотелось бы просто численно руками решить систему из 3-х уравнений, чтобы понять.
Нигде не могу найти хотя бы разобранный примерчик

Помогите, кто может! Спасибо!

[Римский]

Уточните, пожалуйста, цель. Вы хотите для маленькой матрицы записать функцию Тихонова и ее минимизировать?

[uliss]

Контрольный пример:
Система из трех уравнений с тремя неизвестными, det -> 0
Да, необходимо составить функционал и его минимизировать. Найти параметр регуляризации, приближенное к точному решение, ну и невязки с точностью, допустим 0.01

[Римский]

А в чем проблема? Нужно будет искать минимум функции трех переменных...

[Vassil]

Из сайта Физфака МГУ, исторической части, можно снять очень хороший биографический очерк об А. Н. Тихонове.
Вы наверное видели, что там начиная со стр. 112, в части его основных научных публикаций, есть хотя бы три студии в области Вашего интереса.
Там врядь ли будет пример, которого ищете, но думаю, как всегда не мешало бы посмотреть оригиналы.
А еще стоит перелистать известную книжку Дж. Форсайта и К. Молера "Численное решение систем линейных алгебрических уравнений", изд. "Мир", 1969.
Прошу прощения, что ответ мой не совсем в десятку, но можеть приблизить к искомому.

[вв]

если СЛАУ общего вида то к диагональным элементам матрицы добавляем малые величины, типа 0.0000000000001, разлагаем ее на произведение верхнетреугольной и нижнетреугольной и решаем.
это вполне функционально, и как я уж потом выяснил, именно в таком виде эта идея была впервые предложена акад. Соболевым в 1941 году. но я таким образом решал системы из тридцати уравнений. из трех - скорее всего будет непоказательно.

если ядро вида K (i-j), то есть СЛАУ представляет уравнение типа свертки то логичнее использовать дискретное преобразование Фурье выкинув в нем далекие гармоники.

[Fizykochemik]

Уважаемые Коллеги,

решил не создавать новую тему а продолжить старую.

У меня есть функция $V(R,\theta,\phi) $ заданная на сетке A дла $(\theta,\phi) $ .
$R$ тоже принимает дискретные значения и для каждого $R_i$ использую разложение:

$V(R_i,\theta,\phi)=\sum_{kl}(C_{kl}(R_i)P_{k,l}(\theta,\phi))$, где $P_{k,l}(\theta,\phi)$ - некоторые угловые функции.

Для каждого $R_i$ решаю переопределенную линейную систему (число узлов сетки больше чем число коэф. разложения):

$V(R_i,\theta_m,\phi_n)=\sum_{kl}(C_{kl}(R_i)P_{k,l}(\theta_m,\phi_n) $

методом наименьших квадратов и нахожу $ C_{kl}(R_i)$.

Если для всех $R_i$ используется та же самая сетка A для $(\theta,\phi) $ , тогда коэффициенты разложения $ C_{kl}(R)$ непрерывны по R.

Но если я беру другую сетку B для $(\theta,\phi) $, пусть даже не менее густую, тогда некоторые из коэф. разложения перестают быть непрерывными, особенно младщие коэф., т.е. те которые несут меньше информации.

Например, A=$(\theta,\phi=0,20,40,60,...)$ , B=$(\theta,\phi=0,15,30,45,60,75,90,...)$

Для некоторых $R_$ у меня сетка A, а для некоторых B.
Причем если взять прореженную сетку B - Bs=$(\theta,\phi=0,30,60,90,...)$, то разница между B и Bs будет минимальная, т.е. сохранится непрерывность по $R$.

$ C_{kl}(R_i)$ должны быть непрерывны вне зависимости от выбора сетки.

Я думаю это классический случай для метода регуляризации Тихонова и воспользоваться этой библиотекой

http://num-anal.srcc.msu.ru/lib_na/cat/cat59.htm

Кто-нибудь сталкивался с подобной проблемой, может есть какие-то другие библиотеки где можно решить СЛАУ методом Тихонова? В IMSL и Numerical Recipes вроде нет.

Может можно попробовать регуляризировать другим методом?

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Численные и вычислительные методы, оптимизация» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[вв]

Римский в сообщении #7224 писал(а):

А в чем проблема? Нужно будет искать минимум функции трех переменных...

Тихонов, Арсенин Методы решения некорректных задач. Там вЫписан минимизирующий функционал и проварьирован
Только опыт подсказывает что может возникнуть необходимость в вычислениях разряности большей чем 16 знаков
в зависимости от потрЕбного параметра регуляризации. У меня до 400 знаков после запятой доходило в экспериментах
при системе их 25 уравнений.