Квадратурная формула Гаусса

[fronnya]

Доброго времени суток, мне нужно вычислить интеграл $\int\limits_{-1}^{19/11} (59+88x-121x^2)^2dx$ с помощью квадратурной формулы Гаусса порядка 2.

Я преобразую этот интеграл так, чтобы пределы интегрирования стали от -1 до 1, замена вот такая $x=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi$, тогда исходный интеграл принимает вид

$$I=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\int\limits_{-1}^1 \left[59+88\left[\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi\right]-121\left[\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi\right]^2\right]^2 d\xi$$

Получили интеграл вида I=$\int\limits_{-1}^1 \varphi(\xi)d\xi$ где

$$\varphi(\xi)=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\left[59+88\left[\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi\right]-121\left[\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi\right]^2\right]^2$$

И этот интеграл теперь нужно посчитать при помощи формулы

$$I=\sum\limits_{k=1}^2\gamma_k\varphi(\xi_k)=\gamma_1\varphi(\xi_1)+\gamma_2\varphi(\xi_2)+R$$

Здесь $\gamma_k ,\xi_k$ -весовые коэффициент и нули полинома Лежандра $L_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$
Как известно $\gamma_1=\gamma_2=1, \xi_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$
Собственно, подставляя все найденное в формулу Гаусса и отбрасывая R, приближенно находим $1.93784\cdot 10^{-14}$. Хотя Математика мне выдала $\frac{135000}{11}$, я воспользовался здесь функцией NIntegrate.
Что я не так делаю?

-- 15.12.2015, 02:35 --

А, вот ещё, если в исходном интеграле не делать замены переменной, а воспользоваться формулой Гаусса вида

$$I=\sum\limits_{k=1}^2 c_k f(x_k) $$

где $c_k=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\gamma_k$, а $x_k=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi_k$, то получится ответ, который отличен от того, что я получил первым способом. В чем тута дело?

[iifat]

fronnya в сообщении #1082241 писал(а):

приближенно находим $1.93784\cdot 10^{-14}$

Проверяйте. У вас как-то ну очень уж мало; у Математики как-то очень уж много. Либо вы неверно посчитали, либо вы неверно вбили в Математику. Либо вы ошиблись, либо вы ошиблись

fronnya в сообщении #1082241 писал(а):

получится ответ, который отличен от того, что я получил первым способом

Вот уж тут — однозначно.

[TOTAL]

fronnya в сообщении #1082241 писал(а):

$$I=\sum\limits_{k=1}^2\gamma_k\varphi(\xi_k)=\gamma_1\varphi(\xi_1)+\gamma_2\varphi(\xi_2)+R$$

В чем тута дело?

Чему равны $\varphi(\xi_1), \;\varphi(\xi_2) \;?$

[Someone]

А что, выполнять арифметические операции вручную уже совсем запрещено? Что это за страшилища такие? Я про $x=\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{19}{11}+1\right)\xi$ и последующее.

[Евгений Машеров]

Это учебная задача или прикладная? Если учебная, боюсь, она с наколкой. Подынтегральное выражение - сдвинутый полином Лежандра, в узлах гауссовой квадратуры принимает значение 0, и точный ответ будет 0. Смысл наколки - заставить понять условия применимости гауссовой квадратуры. В частности, для какого порядка она работает, и какова степень здесь у подынтегрального выражения.

-- 15 дек 2015, 13:29 --

Величина порядка $10^{-14}$ выглядит подозрительно близкой к границе машинной точности. И можно предположить, что правильный ответ мог бы дать А.С.Пушкин, у которого, как известно, вся математика заканчивалась нулём. В том смысле правильный, что при вычислениях по данной формуле без машинных ошибок, округления и т.п. должен был бы получиться 0. А поскольку у нас арифметика с конечной точностью, корни квадратные считаются по приближённым формулам и т.п., расчёт по данной формуле даёт не 0, а число, к нулю близкое. Но в другом смысле это ответ неправильный, даже при абсолютной точности. Правильный, или точнее, близкий к правильному дала Matematica (насколько близкий - не знаю, зависит от числа узлов и применяемой формулы, но думаю, что относительная погрешность вряд ли больше $10^{-10}$). Что дал Ваш третий подход - полагаю, там тоже "околоноля", но поскольку иные ошибки округления, не такое "околоноля", как в первом подходе к снаряду.
А квадратура Гаусса, она работает для порядка $(2n-1)$, то есть для третьей степени. А у Вас?

[fronnya]

Евгений Машеров в сообщении #1082314 писал(а):

Это учебная задача или
прикладная?

учебная

Евгений Машеров в сообщении #1082314 писал(а):

А квадратура Гаусса, она работает для порядка $(2n-1)$, то есть для третьей степени. А у Вас?

А у меня четвертая. В учебниках говорится, что формула работает точно для многочленов не выше степени $2n-1$, это значит, что в моем случае как бы должна быть погрешность. Но я вот только что ещё раз все перепроверил, записал в виде $\sum\limits_{k=1}^n c_k \varphi(\xi_k)$ и получился точный нуль.

[Евгений Машеров]

Да. Если не выполнено условие применения формулы - формула имеет право не работать.

[fronnya]

Евгений Машеров в сообщении #1082507 писал(а):

Да. Если не выполнено условие применения формулы - формула имеет право не работать.

Где читал, нигде не видел условий применения формулы. Вы говорите, что подынтегральная функция - это сдвинутный полином Лежандра и в узлах Гауссовой квадратуры она зануляется. Я, честно говоря, впервые сталкиваюсь с полиномами Лежандра, вот в википедии прочитал, что сдвинутым называется полином $P(2x-1)$, где функция $2x-1$ выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности полиномов Лежандра $[-1;1]$ на $[0;1]$, где будут ортогональны уже сдвинутые полиномы Лежандра. Это я понял. А вот у нас какая функция и что на что она отображает? Интервал $[-1;1]$ на интервал $[-1;\frac{19}{11}]$ ?

[TOTAL]

fronnya в сообщении #1082625 писал(а):

А вот у нас какая функция и что на что она отображает? Интервал $[-1;1]$ на интервал $[-1;\frac{19}{11}]$ ?

У нас подынтегральная функция обращается в ноль в корнях полинома второй степени, который ортогонален всем полиномам меньшей степени на отрезке $[-1; 19/11]$

[Aritaborian]

Вы уж все меня простите, но интеграл, выписанный в первой строке первого сообщения темы, действительно равен $135000/11$ ;-(

[Евгений Машеров]

Конечно, равен. И даже аналитически его посчитать немногим сложнее, чем численно. Речь о другом. Его предложено посчитать по формуле Гаусса с двумя узлами. Единственный смысл такого задания, как мне видится, показать "как не надо делать". Потому, что получится "ответ имени Сашеньки Пушкина", в смысле 0. Хотя даже на глаз видно, что величина существенно положительная, как интеграл от положительной (ну, в двух точках ноль, но не будем крохоборствовать) величины. И, ИМХО, от студента требуется не число, а понимание того, почему не получается, и как надо делать (и как не делать), чтобы получилось.

[Aritaborian]

А, ну другое дело. (Что-то подобное и предполагал, но плохо, видимо, вчитывался в обсуждение и окончательно всё уяснил только сейчас; спасибо).

[fronnya]

Всем спасибо за ответы!