Пусть
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
-- произвольное множество. Преобразование множества
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
-- это произвольное взаимно однозначное отображение множества M на себя,
![$g: M \to M$ $g: M \to M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/8/b380a1ebb153fff7131b6a763dea166682.png)
. Два преобразования
![$g_1$ $g_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/0/a50c3a6cce0c5b640cc5bef1d62b99bd82.png)
и
![$g_2$ $g_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/0/3a0999540a345758e8259a30f523c1c982.png)
равны, если
![$g_1(A) = g_2(A)$ $g_1(A) = g_2(A)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/0766fb83402c6d2274ec1a2e56b2331282.png)
для любого элемента
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
из
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
. Так как преобразование -- это взаимно однозначное отображение, то для каждого преобразования
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
существует обратное преобразование
![$g^{-1}$ $g^{-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38d63a2e3c8cc0fd6c8e5669ae00df7882.png)
, которое определяется следующим образом: если
![$g(A) = B$ $g(A) = B$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dca572b08d5e51bbce305ce7bea03c9b82.png)
, то
![$g^{-1}(B) = A$ $g^{-1}(B) = A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/2/e22b199636be30c1abf24f697baa766f82.png)
.
Произведение преобразований
![$g_1$ $g_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/0/a50c3a6cce0c5b640cc5bef1d62b99bd82.png)
и
![$g_2$ $g_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/0/3a0999540a345758e8259a30f523c1c982.png)
определяется так:
![$(g_1 g_2)(A) = g_1( g_2(A))$ $(g_1 g_2)(A) = g_1( g_2(A))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9cb792a119f835cc0c6524e1ca0a44d82.png)
(сначала делается преобразование
![$g_2$ $g_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/0/3a0999540a345758e8259a30f523c1c982.png)
, затем
![$g_1$ $g_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/0/a50c3a6cce0c5b640cc5bef1d62b99bd82.png)
). Если
![$g_1$ $g_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/0/a50c3a6cce0c5b640cc5bef1d62b99bd82.png)
и
![$g_2$ $g_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/0/3a0999540a345758e8259a30f523c1c982.png)
-- преобразования множества
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
, то
![$g_1 g_2$ $g_1 g_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/9/939b20d106df8e819fbb7d8611a3cf0782.png)
-- также преобразование множества
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
.
Определение. Пусть некоторое множество преобразований
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
обладает следующими свойствами: 1) если преобразования
![$g_1$ $g_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/0/a50c3a6cce0c5b640cc5bef1d62b99bd82.png)
и
![$g_2$ $g_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/0/3a0999540a345758e8259a30f523c1c982.png)
содержатся в
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
, то и их произведение
![$g_3 = g_1g_2$ $g_3 = g_1g_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/a/b9a05db1ad7722d64c88ef609dbafe5a82.png)
содержится в
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
; 2) если преобразование
![$g$ $g$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/f/3cf4fbd05970446973fc3d9fa3fe3c4182.png)
содержится в
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
, то и обратное ему преобразование
![$g^{-1}$ $g^{-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38d63a2e3c8cc0fd6c8e5669ae00df7882.png)
содержится в
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
. Тогда такое множество преобразований
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
будем называть группой преобразований.
Необходимо доказать, что любая группа преобразований содержит тождественное преобразование
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
такое, что
![$e(A) = A$ $e(A) = A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/9/84995e6ada3cc8b1e1ca34b06ca6171f82.png)
для любого элемента
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
множества
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
.
Пусть есть некоторая группа преобразований
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
. Всегда можно взять некоторое преобразование
![$g_i = e$ $g_i = e$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/3/13330b198b73ad2630e91c59e03431f282.png)
независимо от количества преобразований в
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
, для которого будет справедливо условие 1), например:
![$g_2 = e, (g_1g_2)(A)=(g_1e)(A)=g_1(e(A))=g_1(A)$ $g_2 = e, (g_1g_2)(A)=(g_1e)(A)=g_1(e(A))=g_1(A)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/d/add220af0e1f5260b755f185c267f6ec82.png)
. Легко будет выполняться и условие 2), так как
![$e^{-1}=A$ $e^{-1}=A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/f/dffce1d187f757ab7f261f3abcfae7cb82.png)
.
Думаю, что моя логика доказательства какая-то кривая. Может я что-то не понимаю или усложняю, и мне нужно "тренироваться на кошках"?