Помогите найти вычет функции

[volchenok]

а в каких точках тогда считать те самые вычеты, если кроме точек ветвления ничего нет?

[Otta]

Ни в каких.

[volchenok]

тогда как применять теорему о вычетах для таких интегралов?

[Otta]

Никак не применять. Перечитайте предпоследний пост внимательно.

Otta в сообщении #1082325 писал(а):

volchenok в сообщении #1082319 писал(а):

А вот этот интеграл вычетами не взять?

Еще раз - ответ - бесселева функция, которая определяется либо через ряд, либо через интеграл Фурье. Если под "взять" имеется в виду свести этот интеграл к другому, более узнаваемому - так это и так легко делается, безо всякой теории вообще. Через экспоненты же (которые вылезут при подсчете вычетов, чисто гипотетическом), функции Бесселя не выражаются.

Вычеты тут совершенно ни при чем, максимум что может пригодиться, интегральная теорема Коши.

-- 15.12.2015, 16:48 --

Первая часть того поста касалась случая, когда кроме точек ветвления, есть и изолированные особые точки однозначного характера.
Например, $\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x (x+1)}\,dx$.

Возьмите книжку. Там все есть.

[volchenok]

ну я не имел ввиду свой пример, а вообще любой интеграл от функции, у которой нет особых точек, кроме точек ветвления. Раз вы говорите, что можно такие интегралы считать по теореме о вычетах, то я логичный вопрос: в каких точках считать эти самые вычеты? Неужели раз особых точек нет, то такой интеграл равен нулю? Или может теорема о вычетах не работает?

[Otta]

Теорему о вычетах сформулируйте, пожалуйста, если не сложно.

[volchenok]

Если $f$ аналитична в некоторой замкнутой односвязной области $\overline G\subset\mathbb C$, за вычетом конечного числа особых точек $a_1,a_2,\dots,a_n,$ из которых ни одна не принадлежит граничному контуру $\partial G$, то справедлива следующая формула:

$\int\limits_{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{\operatorname{res}}}_{z=a_k}f(z)$ ,где $\mathop{\mathrm{\operatorname{res}}}_{z=a_k}f$ — вычет $f$ в точке $a_k$.

-- Вт дек 15, 2015 15:22:34 --

ну и функция с точками ветвления удовлетворяет условиям теоремы. Разве нет?

[Otta]

Нет. Не удовлетворяет. Теорема для регулярных функций = однозначных аналитических в области. То есть точки ветвления, в принципе, могут быть, но вне области, а на области должна быть возможность выбрать однозначную ветвь.

[volchenok]

получается либо такие интегралы равны нулю (если в область не включать точки ветвления), либо теорема о вычетах не применима. Какой из вариантов правильный?

[Otta]

volchenok в сообщении #1082344 писал(а):

получается либо такие интегралы равны нулю (если в область не включать точки ветвления),

1) Необязательно.

volchenok в сообщении #1082344 писал(а):

либо теорема о вычетах не применима.

2) Иногда- да. Иногда - нет. Смотря какая функция, какая область и как применять.

Пример: интеграл $\int_0^1 \sqrt{\frac{x}{1-x}}\, dx$ замечательно считается как с применением вычетов, так и без, несмотря на отсутствие во всей комплексной плоскости каких-либо особых точек, отличных от точек ветвления.
Нулю он не равен.

[volchenok]

раз особых точек нет в приведенном Вами примере, то в каких точках тогда вычеты считать?

[Otta]

Вы не с того начинаете. А какая область и какой контур, люди в этом месте должны задавать себе вопрос.

Слушайте, это все очень увлекательно, но читать за один вечер половину курса ТФКП не входило в мои нынешние планы. Возьмите книжку. Там это тоже есть.

[volchenok]

да извините. Я уже за данные советы Вам благодарен. Просто Ваши вопросы вызывают у меня свои вопросы. Вот вы говорите, что у меня должен возникнуть вопрос о контуре. У меня возникает встречный вопрос: как у меня возникнет вопрос о контуре, если какой бы контур я не взял, внутри все равно не будет особых точек. Так?

[Otta]

Это смотря как Вы его ориентируете. Можно ориентировать и так, что внутри будет бесконечно удаленная. Для этого примера

Otta в сообщении #1082346 писал(а):

$\int_0^1 \sqrt{\frac{x}{1-x}}\, dx$

такой и берется. А в бесконечно удаленной точке вычет не обязан быть нулевым, даже если это точка аналитичности (что и происходит).

[volchenok]

получается, если я хочу посчитать тот интеграл, который я приводил с самого начала (обратное преобразование Лапласа) при помощи вычетов, то мне нужно выбирать такой контур, внутрь которого попадет бесконечно удаленная точка. В ней я и должен считать вычет, да? При этом точки ветвления я должен оставить во внешности выбранного контура.