Алгебраические уравнения с одним неизвестным степени 2<n<5

[timber]

Решил разобраться в методах решения уравнений третьей и четвертой степени. Как известно, они были разработаны в XVI веке и называются: метод Тартальи-Кардано (формулы Кардано) и метод Феррари. Эти методы приводятся, например, в книге Алексеева В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях, МЦНМО,. 2001.

Если честно, во время чтения ход изложения не так уж сложно понять. Вроде бы все логично. Но почему-то, лично для меня это совершенно не запоминается. И если вдруг меня по памяти попросят воспроизвести алгоритм решения уравнений, то в общем рассказать смогу, но вот в подробностях буду "плавать".

Поэтому, хотел бы узнать экспертное мнение, насколько необходимо для полноценного математического образования (или понимания современной алгебры) доскональное, со всеми деталями выводов формул, знание этих методов решения? Может быть существует красивая общая идея на основе которой можно найти решение, избегая многократные преобразования путем замены и группировки переменных?

[iou]

(Оффтоп)

Те пять строчек, которые я прочитал, например - порой выводятся десятки лет.
Касательно вопроса лучше промолчу, поскольку я в нём не компетентен.

[Sonic86]

Вывод Феррари точно можно не запоминать, только основной принцип, как ее раньше вывели. Формулу Кардано можно запомнить, вывод - по желанию, он короткий и без страшных технических деталей, иногда она даже пригождается.

Красивая идея здесь есть и называется она - теория Галуа, вывод решений уравнения можно выводить через т.н. резольвенты Лагранжа, следуя ряду подгрупп разрешимой группы. Эту идею очень хорошо и важно знать для понимания математики, тем более, что группы Галуа используются часто. Только вот идея эта довольно длинная.

[Sinoid]

Ваша тема чем-то перекликается с моей

[Евгений Машеров]

Сугубое ИМХО.
Формулы Кардано и Феррари уже факт не столько математики, сколько истории математики. Практическое значение их невелико, в случае необходимости решать уравнения степени 3 и 4 будут численно, как и уравнения более высоких степеней (а вот для квадратных практическая надобность есть). Вывод формул запоминать не стоит (хотя ознакомиться стоит), да и зазубривать сами формулы излишне. Они были важны тем, что привели к пониманию, зачем комплексные числа, а попытки найти решения уравнений высших степеней, как успешные для n=3 и n=4, так и неуспешные для n>4, выработали важные концепции в алгебре. Но сами по себе формулы - особо не важны, это "отработанная первая ступень". Тем более их вывод, хотя ознакомиться с техникой выкладок любопытно.

[timber]

Еще интересно, почему в школе запись уравнений и их решения, в частности и формула дискриминанта преподается через запись коэффициентов $a, b, ...$ и свободный член, а в более серьезной литературе, в основном, коэффициент при высшей степени приводят к единице, т.е. все коэффициенты и свободный член делятся сначала на коэффициент при высшей степени неизвестной и далее все выражается, например, через $p = b/a, q = c/a$ и т.д.?

Думаю, что отсутствие единства записи и буквенных обозначений легко может ввести в некоторое заблуждение. Например, если показать человеку, который знаком только с методами решения уравнений из школьного курса алгебры вот такие выражения:

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ и $x = {-\frac{p}{2}}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}}$,

то он легко скажет, что первое -- это формула для нахождения корней квадратного уравнения, но затруднится сказать, что такое второе.

[arseniiv]

А уж если уравнение записать в виде $x^2 + 2px + q = 0$…

[Евгений Машеров]

timber в сообщении #1081931 писал(а):

$x = {-\frac{p}{2}}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$

Помнится, мне такую формулу давали в школе.

[Deggial]

Посты TR63 отделены в отдельную тему

[Утундрий]

Если стоит задача только запомнить, не сильно углубляясь в теорию, то достаточно держать в голове две идеи. Формулы Виета и представление решения в виде суммы двух слагаемых. Ну и стремление убить $x^{n-1}$, вдобавок. После чего останутся несколько несложных комбинаций и заключительный финт ушами в виде правила отбора пар слагаемых. Работает, е.м.н.и.п., как на третьей, так и на четвёртой степени.

[ET]

Евгений Машеров в сообщении #1081926 писал(а):

Сугубое ИМХО.
Формулы Кардано и Феррари уже факт не столько математики, сколько истории математики. Практическое значение их невелико, в случае необходимости решать уравнения степени 3 и 4 будут численно, как и уравнения более высоких степеней (а вот для квадратных практическая надобность есть). Вывод формул запоминать не стоит (хотя ознакомиться стоит), да и зазубривать сами формулы излишне. Они были важны тем, что привели к пониманию, зачем комплексные числа, а попытки найти решения уравнений высших степеней, как успешные для n=3 и n=4, так и неуспешные для n>4, выработали важные концепции в алгебре. Но сами по себе формулы - особо не важны, это "отработанная первая ступень". Тем более их вывод, хотя ознакомиться с техникой выкладок любопытно.

Честно говоря, не так давно у меня случайно вывелась формула Кардано. Так настолько просто вывелась, что и техники выкладок там никакой особенной нет и запоминать ее вывод как 2 пальца...
Короче говоря пусть $x= \sqrt[3]{a+b}+ \sqrt[3]{a-b}$ Возведем это в куб. Получим
$x^3=2a+3 \sqrt[3]{a^2-b^2} x$ То есть $x$ - корень этого уравнения. Любое уравнение $x^3=p+qx$ представляется в этом виде не просто, а очень просто: $a=\frac{p}{2}$, $b=$ тоже элементарно