Что такое окружность?

[AlgolHater]

Всем привет.

Тут на лекции дали такое определение:

Цитата:

Окружность - это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

При этом лектор уделил внимание этой части определения: "от некоторой фиксированной точки этой плоскости". Сказал, что некоторые авторы это почему-то забывают писать. И начертил нечто вроде конуса (нечто, потому что образующие, вершина и внутренняя область окружности на плоскости к самой окружности, естественно, не относятся). Спорить с ним там было несколько неудобно, в особенности глядя на его уверенность.

Но я не понял, что он хотел этим доказать. Что полученная фигура, постоенная относительно фиксированной точки, находящаяся вне плоскости получемой фигуры не является окружностью? Или дело в том, что назвать фиксированной точку можно только в случае однозначного её местонахождения, что невозможно сделать без введения единичного отрезка для указания расстояния на котором находится эта точка от данной плоскости?

Так есть ли разница относительно какой фиксированной точки строить эту окружность? Я не согласен с лектором. А вы?

[enko]

AlgolHater писал(а):

Так есть ли разница относительно какой фиксированной точки строить эту окружность? Я не согласен с лектором. А вы?

Действительно и в вашем случае получится окружность, но что будет если равное расстояние R больше либо равно расстоянию от точки до плоскости.

[Профессор Снэйп]

AlgolHater писал(а):

Тут на лекции дали такое определение:

Цитата:

Окружность - это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

При этом лектор уделил внимание этой части определения: "от некоторой фиксированной точки этой плоскости".

Без этой оговорки получится, что и одна точка, и пустое множество точек являются окружностями.

[Бабай]

Цитата:

Без этой оговорки получится, что и одна точка, и пустое множество точек являются окружностями.

А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

С пустым множеством я бы был осторожен. Как там вообще вводить метрику собираемся?

Я думаю что оговорка здесь не особо нужна. Лектор может этим хотел только подчеркнуть, что определяя окружность, мы не обязятельно находимся на двумерном подпространстве. Но какой толк в этом? Определите, что такое n-мерный шар, и отсекайте от него гиперплоскостями шары измерением меньше! Тогда и отпадёт надобность в фиксировании точек.

[незваный гость]

Бабай писал(а):

А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

Вопрос, удобно ли такое определение? Например, можно опустить требование «большее 1» в определении простого числа, но что нам это даст?

Принадлежность же центра плоскости столь же важна, сколь и положительность радиуса. Мы можем не оговаривать, что радиус положительный, но радости с этого мало.

[Бабай]

Цитата:

Окружность - это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости

В первой строке определения говорится, что окружность сама по себе уже двумерная фигура. Значит определяя окружность далее, нужно лишь определить взаимное расположение точек этой двумерной фигуры на пространстве, где её двумерность проявляется наилучшим образом - на плоскости. Для этого достаточно пользоваться одной только функцией расстояния от двух переменных. Значит и область выбора фиксированной точки ограничивается на плоскость. Поэтому, по-моему, здесь упоминание существования пространства измерением больше излишне.

Цитата:

Принадлежность же центра плоскости столь же важна, сколь и положительность радиуса. Мы можем не оговаривать, что радиус положительный, но радости с этого мало.

Посмотрим на действие SO(2) на R^2. Вся плоскость - это объединение непересекающихся окружностей - орбит точек плоскости, включая орбиту начала отсчёта -окружность нулевого радиуса. Так вот, если точку не принимать за окружность, то смысла в этом действии было бы мало. Ну хотя эта ситуация, конечно, довольно специфическая.
Ну скажем так - окружность эквивалентна точке, потому что строение евклидова пространства позволяет стянуть окружность в точку.

[Gordmit]

Бабай писал(а):

А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса?

Получится порочный круг: точка и окружность будут определяться друг через друга. С одной стороны, точка - это окружность нулевого радиуса, а с другой стороны окружность - это множество точек, равноудаленных от данной фиксированной точки...

[AlgolHater]

Цитата:

но что будет если равное расстояние R больше либо равно расстоянию от точки до плоскости

Не понял.

Равно (и меньше) быть просто не может - у прямоугольного треугольника гипотенуза (расстояние от фиксированной точки до какой-либо из точек, образующих окружность) всегда больше катетов (т.е. и больше перпендикуляра, опущенного из фиксированной точки на данную плоскость).
Ну а если больше - то всё хорошо.

UPD. Хм...Имеете ввиду просто перпендикуляр, опущенный на плоскость к точке, которая будет по определнию и называться окружностью?