Последовательность суммы квадратов целых чисел

[B@R5uk]

Пусть $Q_k=n_k^2+m_k^2$ — неубывающая последовательность, где $n_k<m_k$ и $n_k,m_k\in \mathbb{N}$. Я бы хотел знать формулу энного члена этой последовательности. Понимаю, что слишком многого хочу, поэтому мой вопрос звучит таким образом: может быть эта последовательность была изучена кем-то ранее и про это можно где-нибудь прочитать? Если да, то подскажите, пожалуйста.

Путём выписывания первых членов последовательности:

$\[\begin{matrix} k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ {{n}_{k}} & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ {{m}_{k}} & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 \\ {{Q}_{k}} & 5 & 10 & 13 & 17 & 20 & 25 & 26 & 29 & 34 \\ \end{matrix}\]$ - $\[\begin{matrix} 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\ 1 & 2 & 4 & 3 & 1 & 4 & 2 & 3 & 5 & 4 \\ 6 & 6 & 5 & 6 & 7 & 6 & 7 & 7 & 6 & 7 \\ 37 & 40 & 41 & 45 & 50 & 52 & 53 & 58 & 61 & 65 \\ \end{matrix}\]$ - $\[\begin{matrix} 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 4 & 1 & 6 & 2 & 5 & 3 \\ 8 & 8 & 8 & 7 & 8 & 9 & 7 & 9 & 8 & 9 \\ 65 & 68 & 73 & 74 & 80 & 82 & 85 & 85 & 89 & 90 \\ \end{matrix}\]$

можно заметить, что они в среднем пропорциональны своему номеру. Это в принципе логично. Значение k-го члена последовательности — это квадрат радиуса некоторой окружности, а собственно номер k этого члена — это количество точек с целыми координатами на плоскости, попадающие в сектор этой окружности с углом раствора $45^\circ $. Если посчитать очень много членов последовательности (порядка 100`000), то можно обнаружить такую асимптотику:

$$Q_k \sim 3.4685\sqrt{k}+2.54648k$$

Причём амплитуда осцилляций последовательности вокруг этой асимптотической кривой растёт как $\sqrt[4]{k}$. Не знаю, правда, как объяснить это и тот факт, что в асимптотике есть слагаемое с корнем.

Может быть, у кого-то будут какие-нибудь комментарии по этой последовательности по мимо моего основного вопроса? Буду очень благодарен.

[popolznev]

Что такое $n_k$ и $m_k$? Как определяются эти числа?

[B@R5uk]

Все возможные натуральные числа, удовлетворяющие требованию $n_k<m_k$ и $Q_k\leqslant Q_{k+1}$. Другими словами, $Q_k$ — упорядоченная последовательность суммы квадратов всевозможных не равных друг другу натуральных чисел.

[Aritaborian]

А это не A004431? (Э-э, она, ессно, чего это я вдруг сомневаюсь.)

[B@R5uk]

Почти она, только там строго возрастающая последовательность, а меня интересует последовательность, где значения не убывают и могут повторяться. Например, 19-ый и 20-ый элементы равны 65. Для больших номеров возможно и три, и четыре идущих подряд одинаковых числа.

[ex-math]

Есть формула для числа целых точек в круге радиуса $R$: $\pi R^2+\Delta(R)$, где $\Delta(R)=O(R^{2/3-\delta})$. На сегодняшний день $\delta=23/624$. Известно так же, что лучше, чем $O(R^{1/2+\varepsilon})$ оценить $\Delta(R)$ нельзя.

В применении к Вашей задаче это дает $\pi Q_k+\Delta(\sqrt{Q_k})=8k+1+4[\sqrt{Q_k}]+4[\sqrt{0.5Q_k}]$, откуда

$$ Q_k=\frac8\pi k+\frac{8\sqrt2+8}{\pi^{\frac32}}\sqrt k+r(k), $$

где $r(k)$ порядка $\Delta(\sqrt{Q_k})$.

[grizzly]

B@R5uk в сообщении #1081842 писал(а):

Почти она, только там строго возрастающая...

Тогда вот есть с перламутровыми A024507

[B@R5uk]

ex-math в сообщении #1081892 писал(а):

$$ Q_k=\frac8\pi k+\frac{8\sqrt2+8}{\pi^{\frac32}}\sqrt k+r(k), $$

Просто шикарнейшее совпадение эксперимента с теорией:

$\frac{8\sqrt2+8}{\pi^{\frac32}}=3,468493326897...$
$\frac8\pi=2,546479089470325...$

grizzly в сообщении #1081910 писал(а):

A024507

Это точно она!

Всем большое спасибо. Мой интерес практически удовлетворён. Осталось только упомянуть, в связи с чем задача возникла. Эта последовательность (с точностью до коэффициента) получается для энергии частицы в двумерной бесконечной прямоугольной потенциальной яме. Или же для двух невзаимодействующих частиц в одномерной бесконечной прямоугольной потенциальной яме. Так же сфера Ферми в двумерном случае охватывает число состояний связанное с этой задачей, но в гораздо меньшей степени.

[B@R5uk]

Возвращаюсь к теме с похожей, но более интересной задачей.

Пусть $Q_k=a_k^2+b_k^2+c_k^2$ — неубывающая последовательность, где $a_k$, $b_k$ и $c_k$ — натуральные числа, а $Q_k$ отсортированы по возрастанию, не выбрасывая повторы. Типа так:

(Оффтоп)

     1     1     1     3
     1     1     2     6
     1     2     1     6
     2     1     1     6
     1     2     2     9
     2     1     2     9
     2     2     1     9
     1     1     3    11
     1     3     1    11
     3     1     1    11
     2     2     2    12
     1     2     3    14
     1     3     2    14
     2     1     3    14
     2     3     1    14
     3     1     2    14
     3     2     1    14
     2     2     3    17
     2     3     2    17
     3     2     2    17
     1     1     4    18
     1     4     1    18
     4     1     1    18
     1     3     3    19
     3     1     3    19
     3     3     1    19
     1     2     4    21
     1     4     2    21
     2     1     4    21
     2     4     1    21
     4     1     2    21
     4     2     1    21
     2     3     3    22
     3     2     3    22
     3     3     2    22
     2     2     4    24
     2     4     2    24
     4     2     2    24
     1     3     4    26
     1     4     3    26
     3     1     4    26
     3     4     1    26
     4     1     3    26
     4     3     1    26

Теперь разбиваем всю последовательность $Q_k$ на подпоследовательности в соответствии с чётностью чисел $a_k$, $b_k$ и $c_k$:
1) все три нечётные (одна подпоследовательность $Q_k^{111}$)
2) две нечётные, одна чётная (три подпоследовательности, по одной на каждый столбец, одна из них $Q_k^{112}$)
3) одна нечётная, две чётные (тоже три подпоследовательности, одна из них $Q_k^{221}$)
4) все чётные (одна подпоследовательность $Q_k^{222}$)

На первый взгляд кажется, что в асимптотике все восемь подпоследовательностей должны расти одинаково приблизительно как $\frac{Q_k}{8}$, однако $Q_k^{111}$ растёт медленнее $Q_k^{112}$, которая, в свою очередь, растёт медленнее $Q_k^{221}$, и $Q_k^{222}$ растёт быстрее всего. Почему так получается? Есть ли вообще какие-либо оценки для числа целый точек в шаре?

[ex-math]

Оценки есть, этим еще Виноградов много занимался. Что касается четности, там наверно какие-то сравнения играют роль. Но главный член асимптотики вроде не должен различаться. Какие получились количественные результаты?

-- 04.11.2016, 21:21 --

Оценки есть, этим еще Виноградов много занимался. Что касается четности, там наверно какие-то сравнения играют роль. Но главный член асимптотики вроде не должен различаться. Какие получились количественные результаты?

[B@R5uk]

Что-то вот такое:



Если посчитать чисел по-больше, то с увеличением масштаба на графике линии действительно сближаются. Но по графикам видно, что нечётных троек в каком-то смысле больше. Интересно, почему?

-- 04.11.2016, 23:08 --

Забавно посмотреть на мелком масштабе у начала координат:



Последовательность $Q_k^{111}$ всегда идёт скачками по 8; последовательность $Q_k^{112}$ идёт шагами по 4 (кроме четырёх исключений по 8 в начале); $Q_k^{221}$ так же шагами по 4 кроме трёх исключений. А последовательность $Q_k^{222}$ идёт скачками 4, 8 и 12, причём последние сохраняются вплоть даже до значений, которые доступны мне для счёта без оптимизации памяти ($k\sim 7.5\cdot 10^6$, $Q\sim 6\cdot 10^4$).

[ex-math]

Возможно следующие члены асимптотики у них различаются. Это надо смотреть.