простые определённого вида.

[Руст]

Пусть p>3 простое. Построим множество $S_p$ состоящие в двоичной записи из p единиц и одного нуля. Доказать, что множество $S_p$ всегда содержит простое число. По моим прикидкам оно содержит $5,494$ (в среднем) простых чисел.

[Kid Kool]

Руст писал(а):

Построим множество $S_p$ состоящие в двоичной записи из p единиц и одного нуля.

Не понятно, что имелось в виду: множество $S_p$ образовано числами, состоящими в двоичной записи из p единиц и одного нуля? Или что-то другое?

Если так, то это сильное утверждение. Интересно также, как так получается, что с ростом p все равно остается примерно 5 простых чисел в множестве $S_p$...

[Руст]

На самом деле эта гипотеза уже опровергнута. Т.е. среди простых меньше 10000 (их тут 1229) для значений p=577 и p=5569 все элементы множества $S_p$ составные.
Согласно вероятностной прикидке при больших p эта вероятность равна $exp(-a)$ и вероятность того, что в $S_p$ имеется ровно k простых выражается формулой $exp(-a)\frac{a^k}{k!}$. Вычисленное мной значение среднего количества простых порядка $a=5,494$. Можно объяснит, что при не очень больших p статистика будет похоже на распределение Пуассона с несколько увеличенным a. Действительно статистика по первым (не очень большим ) простым меньше 10000 выглядит примерно с а=5,7-5,8.

[Kid Kool]

Интересно было бы взглянуть более детально на эти вероятностные прикидки.

И что такое здесь a?

[Руст]

Число а получается как предел

$$a=\frac{3}{ln 2}\lim_{N\to \infty}\prod_{3<q<N,q-prime}(1+\frac{q-m(q)}{m(q)(q-1)^2}).$$

Где $m(q)=\phi(T_2(q))$, а $T_2(q)$ точный период степеней числа 2 по модулю q.
Я посчитал при $N=300 000 000$.