2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение12.12.2015, 14:54 
Аватара пользователя


29/01/15
298
ВШЭ, НМУ
Помогите разобраться, почему $H^1(X)$ свободна от кручения? Есть общий факт, что любая свободная абелева группа не содержит кручения. Доказательство состоит в том, что записывается разложение элемента по базису группы, делается предположение, что кручение есть, домножаем на соответствующее число, но тогда получаем равную нулю сумму элементов базиса с отличными от нуля коэффициентами. Элементами группы $H^1(X)$ с коэффициентами в $G$ являются классы эквивалентности коцепей $\varphi$, которые сопоставляют каждому сингулярному симплексу $\sigma$ его значение в группе $\varphi(\sigma) \in G$. Но поскольку сингулярные $n-\mbox{мерные}$ симплексы образуют базис в соответствующей группе $C_n(X)$, то базис есть и в $H^1(X)$ (если есть базис в каком-то пространстве, то есть и двойственный к нему базис в линейных функциях над этим пространством). Такое рассуждение кажется мне правильным, но оно не различает группы гомологий и когомологий, а в гомологиях кручение может быть. Что я упускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение12.12.2015, 17:31 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Имеется в виду $H^1(X,\mathbb{Z})$? Тогда можно применить теорему об универсальных коэффициентах и воспользоваться тем, что в группе $\mathbb Z$ нет кручения. Ну, или написать длинную точную последовательность для короткой точной последовательности постоянных пучков с умножением на $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение12.12.2015, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Hasek в сообщении #1081567 писал(а):
Помогите разобраться, почему $H^1(X)$ свободна от кручения?

Боюсь, что вас обманули. Например, достоверно известно, что подгруппа кручения первой группы когомологий с целыми коэффициентами не ориентируемого замкнутого связного $n$-мерного многообразия нетривиальна и, более того, изоморфна $Z_2$. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение12.12.2015, 17:36 


15/04/12
162
Это следует например из теоремы об универсальных коэффициентах для когомологий. Именно, она утверждает что имеются такие короткие точные последовательности:
$0\to Ext(H_{i-1}(X), \mathbb{Z}) \to H^n(X) \to Hom(H_{n}(X),\mathbb{Z})\to 0$. Известно, что $Ext(A,G)=0$, если $A$ - свободная группа, в частности $H^0(X)$.
Тогда $$H^1(X) \simeq Hom(H_{1}(X),\mathbb{Z})$$.
Однако $H_{1}(X)$ - абелианизация фундаментальной группы, поэтому
$$H^1(X) \simeq Hom(\pi_{1}(X),\mathbb{Z})$$
Правая часть очевидно кручения не имеет, так как это гомоморфизмы в $\mathbb{Z}$ и сколько такой гомоморфизм с собой не складывай $0$ не получим (так как $\mathbb{Z}$ кручения не имеет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение13.12.2015, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Brukvalub в сообщении #1081607 писал(а):
Боюсь, что вас обманули. Например, достоверно известно, что подгруппа кручения первой группы когомологий с целыми коэффициентами не ориентируемого замкнутого связного $n$-мерного многообразия нетривиальна и, более того, изоморфна $Z_2$. :cry:


Ко?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение13.12.2015, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Да, пожалуй я поторопился и не учел, что изоморфизм гомологий и когомологий соответствующих размерностей и ко-размерностей над $R$ имеется для ориентируемых многообразий, а для неориентируемых многообразий он строится над $Z_2$. Так что все в порядке. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение13.12.2015, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Brukvalub в сообщении #1081711 писал(а):
над $R$


Что такое $R$? Если $R=\mathbb R$, то как раз гомологии и когомологии любого многообразия изоморфны, независимо от ориентируемости. Если $R$ -- произвольное кольцо, то это, вообще говоря, не верно даже для ориентируемых.

Brukvalub в сообщении #1081711 писал(а):
для неориентируемых многообразий он строится над $Z_2$.


Тоже странное утверждение. Как раз в указанном примере они не изоморфны над $\mathbb Z_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение13.12.2015, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
g______d в сообщении #1081716 писал(а):
Что такое $R$

Как обычно, это аддитивная группа коммутативного ассоциативного кольца с единицей. Как мне помнится, я почерпнул эти сведения у Прасолова. Сейчас поищу ссылку...

-- Вс дек 13, 2015 00:48:44 --

Нашел: Прасолов, Элементы теории гомологий стр. 54-55.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение13.12.2015, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
А, я сначала не понял, что под

Brukvalub в сообщении #1081711 писал(а):
изоморфизм гомологий и когомологий соответствующих размерностей и ко-размерностей над $R$


имелась в виду двойственность Пуанкаре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая группа когомологий не содержит кручения
Сообщение13.12.2015, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
g______d в сообщении #1081724 писал(а):
имелась в виду двойственность Пуанкаре.

Да, именно двойственность Пуанкаре.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group