Первая группа когомологий не содержит кручения

[Hasek]

Помогите разобраться, почему $H^1(X)$ свободна от кручения? Есть общий факт, что любая свободная абелева группа не содержит кручения. Доказательство состоит в том, что записывается разложение элемента по базису группы, делается предположение, что кручение есть, домножаем на соответствующее число, но тогда получаем равную нулю сумму элементов базиса с отличными от нуля коэффициентами. Элементами группы $H^1(X)$ с коэффициентами в $G$ являются классы эквивалентности коцепей $\varphi$, которые сопоставляют каждому сингулярному симплексу $\sigma$ его значение в группе $\varphi(\sigma) \in G$. Но поскольку сингулярные $n-\mbox{мерные}$ симплексы образуют базис в соответствующей группе $C_n(X)$, то базис есть и в $H^1(X)$ (если есть базис в каком-то пространстве, то есть и двойственный к нему базис в линейных функциях над этим пространством). Такое рассуждение кажется мне правильным, но оно не различает группы гомологий и когомологий, а в гомологиях кручение может быть. Что я упускаю?

[apriv]

Имеется в виду $H^1(X,\mathbb{Z})$? Тогда можно применить теорему об универсальных коэффициентах и воспользоваться тем, что в группе $\mathbb Z$ нет кручения. Ну, или написать длинную точную последовательность для короткой точной последовательности постоянных пучков с умножением на $n$.

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1081567 писал(а):

Помогите разобраться, почему $H^1(X)$ свободна от кручения?

Боюсь, что вас обманули. Например, достоверно известно, что подгруппа кручения первой группы когомологий с целыми коэффициентами не ориентируемого замкнутого связного $n$-мерного многообразия нетривиальна и, более того, изоморфна $Z_2$.

[CptPwnage]

Это следует например из теоремы об универсальных коэффициентах для когомологий. Именно, она утверждает что имеются такие короткие точные последовательности:
$0\to Ext(H_{i-1}(X), \mathbb{Z}) \to H^n(X) \to Hom(H_{n}(X),\mathbb{Z})\to 0$. Известно, что $Ext(A,G)=0$, если $A$ - свободная группа, в частности $H^0(X)$.
Тогда

$$H^1(X) \simeq Hom(H_{1}(X),\mathbb{Z})$$

.
Однако $H_{1}(X)$ - абелианизация фундаментальной группы, поэтому

$$H^1(X) \simeq Hom(\pi_{1}(X),\mathbb{Z})$$

Правая часть очевидно кручения не имеет, так как это гомоморфизмы в $\mathbb{Z}$ и сколько такой гомоморфизм с собой не складывай $0$ не получим (так как $\mathbb{Z}$ кручения не имеет)

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1081607 писал(а):

Боюсь, что вас обманули. Например, достоверно известно, что подгруппа кручения первой группы когомологий с целыми коэффициентами не ориентируемого замкнутого связного $n$-мерного многообразия нетривиальна и, более того, изоморфна $Z_2$.

Ко?

[Brukvalub]

Да, пожалуй я поторопился и не учел, что изоморфизм гомологий и когомологий соответствующих размерностей и ко-размерностей над $R$ имеется для ориентируемых многообразий, а для неориентируемых многообразий он строится над $Z_2$. Так что все в порядке.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1081711 писал(а):

над $R$

Что такое $R$? Если $R=\mathbb R$, то как раз гомологии и когомологии любого многообразия изоморфны, независимо от ориентируемости. Если $R$ -- произвольное кольцо, то это, вообще говоря, не верно даже для ориентируемых.

Brukvalub в сообщении #1081711 писал(а):

для неориентируемых многообразий он строится над $Z_2$.

Тоже странное утверждение. Как раз в указанном примере они не изоморфны над $\mathbb Z_2$.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1081716 писал(а):

Что такое $R$

Как обычно, это аддитивная группа коммутативного ассоциативного кольца с единицей. Как мне помнится, я почерпнул эти сведения у Прасолова. Сейчас поищу ссылку...

-- Вс дек 13, 2015 00:48:44 --

Нашел: Прасолов, Элементы теории гомологий стр. 54-55.

[g______d]

А, я сначала не понял, что под

Brukvalub в сообщении #1081711 писал(а):

изоморфизм гомологий и когомологий соответствующих размерностей и ко-размерностей над $R$

имелась в виду двойственность Пуанкаре.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1081724 писал(а):

имелась в виду двойственность Пуанкаре.

Да, именно двойственность Пуанкаре.