Степенной ряд

[MestnyBomzh]

Нужно разложить $\frac{1}{(x^2+4x+8)^2}$ по степеням $(x+2)^2$.
Я привел к следующему виду: $\frac{1}{((x+2)^2+4)^2}=\frac{1}{(y^2+4)^2}$. Дальше не знаю как раскладывать это. Надо как-то подвести к геом прогрессии: $\frac{1}{1-x}$?

[kp9r4d]

К $\frac{1}{(1+x)^2}$, коя суть производная от понятно чего.

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #1081480 писал(а):

Надо как-то подвести к геом прогрессии: $\frac{1}{1-x}$?

Да, и для этого подумать
1. Как вместо четверки получить единицу.
2. Что будет при дифференцировании прогрессии.

[MestnyBomzh]

у меня получилось, что $\frac{1}{(1+x)^2} = (-\frac{1}{x+1}+C)'$. Дальше раскладываем дробь, дифференциируем, получаем: $\frac{1}{(1+x)^2} = \sum \limits_{n=0} ^{\infty} n(-1)^{n+1}x^{n-1}$

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #1081489 писал(а):

$\frac{1}{(1+x)^2} = \sum \limits_{n=0} ^{\infty} n(-1)^{n+1}x^{n-1}$

Слева не было особенности в нуле, как она появилась справа?

[MestnyBomzh]

Видимо, обсчитался где-то. Я рассуждал вот так: $\frac{1}{(x+1)^2} = (-\frac{1}{1+x}+C)' = (\sum \limits _{n=0} ^{\infty} (-1)^{n+1}x^n)' = \sum \limits_{n=0} ^{\infty} n(-1)^{n+1}x^{n-1}$

-- 12.12.2015, 00:23 --

а, ну особенности не будет вот почему: при $n=0$ слагаемое уйдет из-за умножения на ноль

-- 12.12.2015, 00:50 --

а что делать, если степень нецелая, то есть при помощи производной мы не придем к $-1$ степени. Например, $\frac{1}{(x+14)^{\frac{1}{4}} }$?

[Ms-dos4]

MestnyBomzh
Бином Ньютона что, отменили?

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #1081493 писал(а):

а что делать, если степень нецелая,

Разложения в ряд Тейлора основных элементарных функций учить.
Если целая - тоже не мешает.

[MestnyBomzh]

я тоже думал про Бином, но мы же не раскладывали в лоб: $\frac{1}{(1+x^2)^2} = (1+x^2)^{-2}$, а сначала проделывали какой-то трюк

[Otta]

А

Otta в сообщении #1081518 писал(а):

Разложения в ряд Тейлора основных элементарных функций учить.

совет не глянулся? )

[MestnyBomzh]

Otta
Приглянулся. Там Бином и получается. Разложение функции $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+...$ - это же и есть Бином