Группа S3

[Бабай]

Здравствуйте,

подскажите наводящими вопросами, как доказать, что в точности до изоморфизма симметрическая группа на трёх элементах является единственной неабелевой группой порядка 6. Причём следует использовать тот факт, что если в группе индекс любой подгруппы 2, то эта подгруппа обязательно нормальна.

Ясно, что S3 неабелева, т.к. единственные коммутирующие (неединичные) элементы - это (123) и (132). Но что-то не доходит, как доказать единственность. Используя свойство номальности подгруппы индекса 2, как состряпать изоморфизм в S3?

Добавлено спустя 11 минут 30 секунд:

Достаточно ли доказать, что группа неабелева тогда и только тогда, когда нет ни одной подгруппы индекса 2?

[bot]

Бабай писал(а):

Достаточно ли доказать, что группа неабелева тогда и только тогда, когда нет ни одной подгруппы индекса 2?

Группа $S_3$ как раз и опровергает это утверждение - она неабелева, но имеет подгруппу индекса два.
Другой контрпример - берём циклическую группу нечётного порядка, в ней не может быть подгрупп индекса 2, но она абелева.

Что касается сабжа, то из теоремы Силова вытекает, что для любых простых p<q с точностью до изоморфизма существует ровно две группы порядка pq - одна из них циклическая, а другая абелевой быть не может, так как из существования элементов взаимно простых порядков p и q в абелевом случае сразу вытекает существование элемента порядка pq.

В данном случае можно и в лоб - без теоремы Силова.
Возьмите подгруппу порядка 3 - она ясно циклическая, пусть с образующим $a$. Как правильно замечено, она нормальна. Возьмите произвольный элемент $b$ порядка 2 - он будет вне её и рассмотрите действие его на подгруппу сопряжением ...

P.S. То ли крысы в инете завелись - кабель перегрызли, то ли связь через Таллин пошла ...

[Бабай]

Да, конечно! В S3 знакопеременная А3 имеет же индекс 2?! тогда понятно.
Значит сначала разберёмся, что мы имеем в S3. Мы имеем тривиальные - состоящую из единицы, саму S3. Нетривиальные порядка 2 - это <(12)>, <(13)>, <(23)>, имеющие индекс 3. И ещё порядка 3 <(123)> индекса 2, которая нормальная.

Теперь берём произвольную группу порядка 6. Если взять подгруппу индекса 2, то по сказанному выше она нормальный делитель.
Рассмотрим подгруппу индекса 3, т.е. порядка 2 - подгруппу {1,b}, где $b^2=1$.
Действуя на неё её же элементом, видим, что ничего не происходит: $b^{-1}\{1,b\}b=\{1,b\}$. А если действовать элементом a порядка 3, получаем $a^{-1}\{1,b\}a=\{1, a^{-1}{}ba\}$. То есть либо вся группа абелева, либо рассматриваемая подгруппа не является номальной и след-но вся группа неабелева и изоморфна S3.

Это то, что Вы имели ввиду?

До Силова мне пока ещё далеко, но очень интересное утверждение!

[bot]

Ну я бы начал наоборот - с трёхэлементной подгруппы, так и писал.
Ну давайте совсем с нуля.
1) Если в группе есть элемент 6-го порядка, то она циклическая.
2) Если такового нет, то каких порядков могут быть? Теорема Лагранжа, надеюсь, известна?
3) ... пока остановимся.

[Бабай]

к 2)
да, делители 6 - 1,2,3

ну тогда действуем так $b^{-1}\{1,a,a^2\}b=\{1,b^{-1}ab,b^{-1}a^2{}b\}$

Добавлено спустя 11 минут 10 секунд:

раз циклическая подгруппа с образующим a яв-ся номальной, то видно, что вся группа должа быть либо абелевой, т.е.
$b^{-1}ab=a, b^{-1}a^2{}b=a^2$
либо выполняется $b^{-1}ab=a^2, b^{-1}a^2{}b=a$, из чего, немного поперекидав туда-сюда множители, вытекает, что существуют некоммутирующие элементы $a,b$ , такие что $a^3=1=b^2$