Два члена с одинаковым произведением ненулевых цифр

[Ktina]

Доказать, что в любой арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена с одинаковым произведением ненулевых десятичных цифр.

[NSKuber]

Произведение всех ненулевых цифр в $n$-значном числе лежит между $1$ и $9^n$, то есть различных произведений для таких чисел - не более $9^n$. А элементов арифметической прогрессии там где-то $\frac{10^n-10^{n-1}}{a}$, где $a$ - шаг. Для произвольного фиксированного $a$ можно выбрать достаточно большое $n$ такое, что число элементов прогрессии с $n$ знаками больше числа всевозможных произведений цифр, здравствуй, Дирихле.

[Ktina]

NSKuber
Спасибо!

[TOTAL]

Или для $a_n= a_0 + d \cdot n$:
$a_0 + d \cdot10^{a_0}$,
$a_0 + d \cdot10^{a_0+1}$,
$a_0 +d \cdot 10^{a_0+2}$,
...