Найти количество теплоты переданное газу

[Charlz_Klug]

Пожалуйста, проверьте задачу:

Задача:
Идеальный одноатомный газ занимал объём $1$ кубический метр и находился под давлением $2 \cdot 10^5$ Па. Газ был сначала нагрет при постоянном давлении до объёма $3$ кубических метра, а потом при постоянном объёме до давления $5 \cdot 10^5$ Па. Найти количество теплоты, переданное газу.

Решение:
$U_1 = \frac{3}{2} P_1 V_1$, где $P_1 =$ $2 \cdot 10^5$ Па, а $V_1 =$ $1$ кубический метр. $U_2= \frac{3}{2}P_2 V_2$, где $P_2 =$ $5 \cdot 10^5$ Па, а $V_2 =$ $3$ кубических метра. Отсюда: $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2}P_2 V_2 - \frac{3}{2} P_1 V_1 = \frac{3}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1) = $
$\frac{3}{2} (5 \cdot 10^5 \cdot 3 - 2 \cdot 10^5 \cdot 1) = \frac{3}{2} \cdot 13 \cdot 10^5 = 195 \cdot 10^4$ Дж.

Ответ:
Газу было передано $195 \cdot 10^4$ Дж.

[Pphantom]

Это Вы нашли изменение внутренней энергии газа. А переданная теплота пошла не только на это, но и на совершение работы (на стадии изобарического нагрева), что тоже стоило бы учесть.

P.S. Заодно уж... не знаю, насколько это для Вас критично, но я бы посчитал ошибкой еще одно: у Вас все данные известны с одной значащей цифрой (т.е. в лучшем случае с $10\%$ относительной погрешностью, а в результате цифр уже три. Откуда?

[Charlz_Klug]

Pphantom в сообщении #1081211 писал(а):

Это Вы нашли изменение внутренней энергии газа. А переданная теплота пошла не только на это, но и на совершение работы (на стадии изобарического нагрева), что тоже стоило бы учесть.

Попытаюсь:
Работа, затрачиваемая на изобарический нагрев выражается формулой $A = P \Delta V$, где $A$ - выполненная работа, $P$ - давление, $\Delta V$ - изменение объёма. Получаем: $A = 2 \cdot 10^5 \cdot (3 - 1) = 2 \cdot 10^5 \cdot 2 = 4 \cdot 10^5$ Дж. Итого: общее количество теплоты $= A + \Delta U = 4 \cdot 10^5 + 195 \cdot 10^4 = 4 \cdot 10^5 + 19.5 \cdot 10^5 = 23.5 \cdot 10^5$ Дж.

Pphantom в сообщении #1081211 писал(а):

P.S. Заодно уж... не знаю, насколько это для Вас критично, но я бы посчитал ошибкой еще одно: у Вас все данные известны с одной значащей цифрой (т.е. в лучшем случае с $10\%$ относительной погрешностью, а в результате цифр уже три. Откуда?

Я просто выполнил расчёты и что получилось - то и записал. И не знаю что Вам ответить. Надо будет мне почитать про погрешности. Насчёт критичности: это мне совсем не критично.

[Munin]

Charlz_Klug в сообщении #1081222 писал(а):

Насчёт критичности: это мне совсем не критично.

На самом деле, это вам критично.

[Pphantom]

Charlz_Klug в сообщении #1081222 писал(а):

Попытаюсь:

Теперь правильно.

Charlz_Klug в сообщении #1081222 писал(а):

Я просто выполнил расчёты и что получилось - то и записал.

Ну и зря. Количество цифр в записи физических величин само по себе несет определенную информацию, и когда Вы "записываете что получилось", Вы, вообще говоря, обманываете того, кто будет это читать. В данном случае - заявляете существенно лучшую точность результата, чем это есть в действительности.

[Charlz_Klug]

Pphantom в сообщении #1081244 писал(а):

В данном случае - заявляете существенно лучшую точность результата, чем это есть в действительности.

Если я всё правильно понял, то изменение внутренней энергии газа составило $195 \cdot 10^4 = 19.5 \cdot 10^5 \approx 20 \cdot 10^5$ Дж, тогда общее количество переданной теплоты составляет $20 \cdot 10^5 + 4 \cdot 10^5 = 24 \cdot 10^5$ Дж?

[Pphantom]

Даже $2 \cdot 10^6$ Дж. Если не вдаваться в детали, то количество значащих цифр в ответе физической задачи, как правило, не может превышать количество значащих цифр в исходных данных, а там у Вас их везде не более одной.

[Munin]

В результате получается, что учёт работы вообще не повлиял на правильно огрублённый результат :-)

[Pphantom]

Munin в сообщении #1081387 писал(а):

В результате получается, что учёт работы вообще не повлиял на правильно огрублённый результат

Я подумывал это написать, но решил, что сие непедагогично.

[Charlz_Klug]

Pphantom в сообщении #1081331 писал(а):

Если не вдаваться в детали, то количество значащих цифр в ответе физической задачи, как правило, не может превышать количество значащих цифр в исходных данных, а там у Вас их везде не более одной.

Возникает вопрос: А как быть в случае, когда масса $m = 5.5$ кг, ускорение свободного падения $g = 9.81 \frac{\text{м}}{\text{c}^2}$. Требуется найти силу $F = mg = 5.5 \cdot 9.81 = 53.955 \text{Н}$. Как округлять в таком случае со смешанными погрешностями?

[Pphantom]

Charlz_Klug в сообщении #1081437 писал(а):

Возникает вопрос: А как быть в случае, когда масса $m = 5.5$ кг, ускорение свободного падения $g = 9.81 \frac{\text{м}}{\text{c}^2}$. Требуется найти силу $F = mg = 5.5 \cdot 9.81 = 53.955 \text{Н}$. Как округлять в таком случае со смешанными погрешностями?

В результате должно получиться столько цифр, сколько их в наименее точном данном, т.е. две.

Причина, собственно говоря, в том, что запись с некоторым числом значащих цифр обычно понимается как косвенное указание абсолютной погрешности результата, равной единице (или половине) последнего разряда. Соответственно, относительные погрешности данных в задаче составляют $2\%$ и $0.1\%$. Известно, что при умножении относительные погрешности складываются, т.е. итоговый результат должен иметь относительную погрешность тоже около $2\%$, что соответствует примерно 1 Н. Так что действительно правильный ответ на такую задачу - 54 Н.

[Charlz_Klug]

Pphantom в сообщении #1081449 писал(а):

Причина, собственно говоря, в том, что запись с некоторым числом значащих цифр обычно понимается как косвенное указание абсолютной погрешности результата, равной единице (или половине) последнего разряда. Соответственно, относительные погрешности данных в задаче составляют $2\%$ и $0.1\%$.

Извините меня, но я никак не пойму как получилось $2\%$ для $m = 5.5 \text{кг}$. Не могли бы вы подробнее расписать алгоритм вывода абсолютной и относительной погрешности?

[Munin]

По минимуму: две значащих цифры.

Ещё, если вычитаются две близких величины, точность теряется. Поэтому такую формулу надо преобразовать к виду, чтобы не было вычитания.

[Pphantom]

Charlz_Klug в сообщении #1081458 писал(а):

Извините меня, но я никак не пойму как получилось $2\%$ для $m = 5.5 \text{кг}$.

Считаем, что абсолютная погрешность - единица последнего указанного разряда (именно последнего указанного, а не того, который перед десятичной запятой/точкой, это не одно и то же). Соответственно, $5.5$ кг эквивалентны $5.5 \pm 0.1$ кг. Относительная погрешность - это отношение абсолютной к модулю величины, т.е. $0.1/5.5 \approx 0.02$.

Charlz_Klug в сообщении #1081458 писал(а):

Не могли бы вы подробнее расписать алгоритм вывода абсолютной и относительной погрешности?

Это довольно долго и, в общем-то, изложено в громадном количестве учебников. Например, скачайте старую, но весьма хорошую книгу "Основы вычислительной математики", Б.П. Демидович, И.А. Марон, и просто прочитайте первую главу, в ней все это подробно разбирается.

[Munin]

Ну, строго говоря, по правилам округления, $5{,}50\pm 0{,}05\text{ кг},$ но это мелочь. Обычно погрешность саму можно оценивать грубо, с точностью до порядка. А когда требуется оценивать её точнее, то и методы используются более другие. Например, говорят волшебное слово "сигма", и обсуждают "три сигмы", "пять сигм"...