Решение системы трех ЛУ

[timber]

На вводной лекции по курсу Алгебры был показан способ решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Сначала исключили переменную $y$ путем вычитания произведения коэффициента $b_2$ перед $y$ второго уравнения и произведения $b_1$ первого уравнения. Таким образом мы получили выражение для определения $x$ через коэффициенты и свободные члены уравнений: $(a_1b_2 - a_2b_1) x = (b_2c_1 - b_1c_2)$. Аналогичным образом для $y$. Далее для записи разницы произведений ввели понятие определителя.

В итоге, лектор предложил самостоятельно вывести формулы для решений систем трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, аналогичные формулам для систем двух уравнений с двумя неизвестными.

Что я сделал. Выразил переменную $z$ через $x, y$ из третьего уравнения и подставил в первое и второе уравнение. Таким образом получил систему из двух уравнений. Потом проделал то же самое, что в вышеописанном случае на лекции. И получилась какая-то абракадабра.

$x = \dfrac{(c_3d_1 - c_1d_3)(b_2c_3 - b_3c_2) - (d_2c_3 - d_3c_2)(b_1c_3 - b_3c_1)}{(a_1c_3 - a_3c_1)(b_2c_3 - b_3c_2) - (a_2c_3 - a_3c_2)(b_1c_3 - b_3c_1)}$

$y = \dfrac{(a_1c_3 - a_3c_1)(d_2c_3 - d_3c_2) - (a_2c_3 - a_3c_2)(c_3d_1 - c_1d_3)}{(a_1c_3 - a_3c_1)(b_2c_3 - b_3c_2) - (a_2c_3 - a_3c_2)(b_1c_3 - b_3c_1)}$

$z = \dfrac{d_3 - a_3x - b_3y}{c_3}$

Не вижу, как можно здесь прийти к определителю третьего порядка? Может вся красота в том, что в числителях и знаменателях полученных $x, y$ получаются одинаковые сомножители и это все нужно каким-то образом дополнительно преобразовать, упростить? Или выбранный мной путь решения ошибочный?

[worm2]

Рассмотрим $x$.
Если раскрыть скобки в числителе, то сократится слагаемое $c_1c_2b_3d_3$.
Если в знаменателе — сократится $a_3b_3c_1c_2$.
После этого обнаружится, что числитель и знаменатель можно сократить на $c_3$.
И в знаменателе окажется $a_1b_2c_3-a_1b_3c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3+a_3c_2b_1+a_2b_3c_1$, что в точности равно

$$\left|\begin{tabular}{ccc} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{tabular}\right|$$

[provincialka]

Не пробовала, но может, проще так: $x,y$ выразить из двух уравнений через $z$ сразу с помощью определителей. И подставить в третье.

[timber]

Всем спасибо! Скорее всего подходит первый вариант с раскрытием скобок, так как смысл в том, что нужно в результате прийти к определителям. То есть нам по умолчанию не известно, что такое определитель третьего порядка, а нужно его вывести.