2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение08.12.2015, 18:45 
Аватара пользователя


12/03/11
657
В случае полинома от одной переменной с целыми коэффициентами, рациональные корни следует искать среди частных делителей старшего коэффициента на делители свободного члена, взятых с разными знаками.

Есть ли качественно подобные результаты для полинома от двух переменных $P(x,y)$?
То есть речь идет про нахождение рациональных решений $(x,y)$ уравнения $P(x,y) = 0$ с целыми коэффициентами...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение08.12.2015, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
DLL в сообщении #1080655 писал(а):
В случае полинома от одной переменной с целыми коэффициентами, рациональные корни следует искать среди частных делителей старшего коэффициента на делители свободного члена, взятых с разными знаками.

Это ложное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение09.12.2015, 05:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Вот например у уравнения $3x-7y=1$ есть решение $x= 5, y= 2$ ... Не говоря уж о $x= 12, y= 5$.Что-то с делимостью плоховато :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение09.12.2015, 13:55 
Заслуженный участник


25/02/11
1745
DLL в сообщении #1080655 писал(а):
То есть речь идет про нахождение рациональных решений $(x,y)$ уравнения $P(x,y) = 0$ с целыми коэффициентами...

Так это же десятая проблема Гильберта, отрицательно решенная Матвеевичем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение09.12.2015, 14:04 
Аватара пользователя


12/03/11
657
Отлично. Спасибо! :-)
Цитата:
Матвеевичем

P.S: видимо опечатка: Матиясевичем...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение09.12.2015, 14:49 


28/05/08
284
Трантор
В книжке Манина и Панчишкина про теорему Матиясевича пишут вот что:
Цитата:
Таким образом, разрешимость в целых числах нераспозна­ваема уже для подходящего однопараметрического семейства
уравнений. Число неизвестных в нем и вообще коразмерность проекции, подразумеваемой в теореме 3.9, может быть сведено
до 9 (Ю. В. Матиясевич). Точный минимум неизвестен, хотя очень интересен.

Так что для двух неизвестных вопрос она не закрывает, кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение09.12.2015, 16:43 
Аватара пользователя


12/03/11
657
Очень любопытно. Если я правильно понял, то для случая двух переменных может оказаться, что задача существования целых решений алгоритмически разрешима...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение09.12.2015, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
DLL в сообщении #1080916 писал(а):
Если я правильно понял, то для случая двух переменных может оказаться, что задача существования целых решений алгоритмически разрешима...

Вы бы сначала с алгоритмом для одного переменного разобрались..

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни полинома от двух переменных с целыми коэффициентами
Сообщение09.12.2015, 17:13 
Заслуженный участник


25/02/11
1745
DLL в сообщении #1080863 писал(а):
P.S: видимо опечатка: Матиясевичем...

Упс :-) словарь браузера не знает фамилию Матиясевича, а Матвеевича знает. Исправил, не проверив.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group