Олимпиада Лобачевского -- 2015. Часть 1

[provincialka]

Задачи студенческой олимпиады им. Лобачевского 1 декабря 2015 г.

Задача 1 (4+3). Дан многочлен $P(x)=x^3-ax-b$, где $a$ и $b$ --- положительные числа.
Доказать, что
1) ровно один корень многочлена $P(x)$ является вещественным положительным числом;
2) этот корень лежит в интервале $(\max\{\sqrt{a},\sqrt[3]{b}\},\sqrt{a}+\sqrt[3]{b})$.

Задача 2 (3+4).
1) Докажите, что площадь треугольника, заключенного между осями координат и касательной к линии $xy=1$, $x,y \ge 0$, не зависит от выбора точки касания.
2) Докажите, что объем тетраэдра, заключенного между координатными плоскостями и касательной плоскостью к поверхности $xyz=1$, $x,y,z\ge 0$, не зависит от выбора точки касания.

Задача 3.
Пусть $A$ и $B$ --- квадратные матрицы порядка $n$.
Доказать, что

$$ \det \left( \begin{array}{cc} A&B\\ B&A \end{array} \right) =\det(A+B)\cdot\det(A-B) $$

Задача 4.
Найти функцию $f:(\frac1e,\infty)\ni x\to y(x)\in{\mathbb R}$, являющуюся решением дифференциального уравнения

$$\int_0^{y'(x)}\frac{e^t\, dt}{1+2 e^t}=\frac12 \ln x $$

с начальным условием $y(1)=-2/3$.

Задача 5.
Пусть $S_M$ обозначает центральную симметрию плоскости относительно точки $M$. Докажите, что точка $W$ является центром тяжести треугольника $ABC$ (точкой пересечения медиан) тогда и только тогда, когда композиция $S_W\circ S_C\circ S_W\circ S_B\circ S_W\circ S_A$ представляет собой тождественное преобразование.

[iifat]

1. Как-то больно простенько для студентов, не?

(Оффтоп)

Произведение положительно — значит, корни положительный и два отрицательных, либо положительный и два комплексных, либо три положительных; в последнем случае, однако, сумма ненулевая. Отрезок тоже, по-моему, проверяется элементарно подсчётом знаков на двух концах.

[RIP]

1. Можно ещё через стандартный трюк с заменой $x=1/y$ ($y^3P(1/y)$ строго убывает при $y>0$).

[provincialka]

iifat в сообщении #1080807 писал(а):

Как-то больно простенько для студентов, не?

Был заказ на "утешительные" задачи. Тем более, есть и 1 курс-- еще и сессию ни разу не сдавали! Я потом приведу еще статистику, что сколько народу решило!

[ProPupil]

4 тоже достаточно простая. Было бы гораздо лучше, если бы $dt$ было вынесено за дробь, а так подсказка получается очень уж явной.

$\int\limits_0^{y'} \frac{e^t}{1+2e^t}dt=\int\limits_1^{e^{y'}} \frac{du}{1+2u}=\frac{1}{2}\ln |1 + 2u|\Bigr|_{u=1}^{u=e^{y'}}=\frac{1}{2}\ln (1+e^{y'})-\frac{1}{2}\ln 3$

Подставляя это в левую часть уравнения и перенося константу в правую, а затем экспоненцируя, получим $1+e^{y'}=3x$ или $y'=\ln (3x-1)$.

Хоть интеграл и не табличный, но олимпиадник его быстро посчитает даже в уме: $y = \frac{1}{3}(3x-1)(\ln (3x -1)-1) + C$

$y(1)=\frac{2}{3}\ln 2 - \frac{2}{3} + C = -\frac{2}{3}$

Т. о.

$$y(x)=\frac{1}{3}(3x-1)(\ln (3x-1)-1)-\frac{2}{3}\ln 2$$

2 вообще по-моему элементарная: надо только знать определения касательных прямых и плоскости, а дальше просто школьные формулы...

[provincialka]

ProPupil
Согласна, что первая часть достаточно простая. "Бывалые" участники признали, что в этом году олимпиада проще. Что не помешало определенной доле участников иметь нулевые работы...

Продолжение (часть 2) пока что-то не пользуется популярностью? Там посложнее...

[ewert]

provincialka в сообщении #1080790 писал(а):

Доказать, что
1) ровно один корень многочлена $P(x)$ является вещественным положительным числом;

Тут возможны два варианта доказательства.

1. $P(0)<0$, и функция выпукла.

2. Очевидно.

[grizzly]

ewert в сообщении #1086159 писал(а):

Тут возможны два варианта доказательства.

1. $P(0)<0$, и функция выпукла.

2. Очевидно.

Второе рассуждение выглядит более строгим

[ewert]

Кстати уж, насчёт локализации того корня. Оценка снизу очевидна ($x^3>ax$ и $x^3>b$). Сверху, скорее всего, имелось в виду, что $x=\sqrt{a+\frac{b}x}<\sqrt{a+b^{\frac23}}$.

-- Вс дек 27, 2015 18:28:15 --

provincialka в сообщении #1080790 писал(а):

Задача 3.
Пусть $A$ и $B$ --- квадратные матрицы порядка $n$.
Доказать, что

$$ \det \left( \begin{array}{cc} A&B\\ B&A \end{array} \right) =\det(A+B)\cdot\det(A-B) $$

$\det\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A+B&B\\B+A&A\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A+B&B\\0&A-B\end{pmatrix}$

Но для этого студент должен быть, конечно, приучен к работе с блочными матрицами. Мы вот своих не приучаем -- некогда.

-- Вс дек 27, 2015 18:59:54 --

Ну и уж для полноты:

provincialka в сообщении #1080790 писал(а):

Задача 5.
Пусть $S_M$ обозначает центральную симметрию плоскости относительно точки $M$. Докажите, что точка $W$ является центром тяжести треугольника $ABC$ (точкой пересечения медиан) тогда и только тогда, когда композиция $S_W\circ S_C\circ S_W\circ S_B\circ S_W\circ S_A$ представляет собой тождественное преобразование.

$S_{\vec m}\,\vec u=2\vec m-\vec u$. Если принять $\vec w=\vec0$, то тогда $(S_{\vec w}\circ S_{\vec a})\vec u=\vec u-2\vec a$, т.е. это просто сдвиг на $-2\vec a$. Соответственно, всё вместе -- это сдвиг на $-2(\vec a+\vec b+\vec c)$, ч.т.д.