Волновые функции и потенциалы

[Osmiy]

А если $\Psi_1$ и $\Psi_2$ ортогональны, то $\langle\Psi_1 \lvert \hat{H}\rvert \Psi_2\rangle$ равно 0 или нет?

[Red_Herring]

Osmiy в сообщении #1080540 писал(а):

А если $\Psi_1$ и $\Psi_2$ ортогональны, то $\langle\Psi_1 \lvert \hat{H}\rvert \Psi_2\rangle$ равно 0 или нет?

Вообще нет, но если они с.ф., то да

[Cos(x-pi/2)]

Osmiy в сообщении #1080507 писал(а):

Как дальше жить то?

Имхо, следует не прыгать между страницами разных книжек, а спокойно и последовательно изучить одну, и порешать задачи из задачников (желательно даже с готовыми решениями, так как наука эта весьма сложна для полностью-то самостоятельного освоения).

Имхо, важно понять, что волновые функции и их суперпозиции не пишутся "как в голову пришло", как попало (хотя такое впечатление возникает, если в книгах читать лишь поясняющие отрывки про суперпозицию), а ищутся как решения уравнения Шредингера. И их свойства, следовательно, тесно связаны с уравнением Шредингера и с постановкой задачи. Поэтому нужно сначала пытаться понять некие "азы": что, зачем и как мы делаем с волновыми функциями в квантовой теории, как одно связано с другим; а не заучивать обрывки.

Форум и википедия, естественно, не могут дать в полном объёме такие "азы". Вот, набросал в помощь как бы начальные пояснения (но без последовательного чтения учебника это, конечно, ерунда тоже)

(пояснения к азам)

Пусть задан гамильтониан $\hat H,$ и от времени $t$ в нём ничего не зависит.

Тогда первым делом ставим задачу о поиске так называемых стационарных состояний $\Psi.$ Опуская тонкости матфизики, можно сказать, что это есть "задача о поиске собственных функций $\Psi$ и собственных значений $E$ гамильтониана" из уравнения

$\hat H \Psi = E \Psi$

с определёнными "граничными условиями", налагаемыми на искомые волновые функции. Условия обязательны, и они существенно влияют на результат (а без условий получится куча лишних, физически бессмысленных решений - таких как неограниченно возрастающие при $x \to \infty$ функции $\psi(x)$).

Типичная, самая обычная ситуация: потенциал в гамильтониане имеет вид ямы или нескольких ям, и мы ищем такие решения $\Psi,$ которые достаточно быстро убывают вне всей ямы (так что нормировочный интеграл для таких волновых функций сходится). Это так называемые "связанные" или "локализованные" стационарные состояния. Оказывается, такие решения есть лишь при определённых значениях $E_n$ параметра $E$ в уравнении. Значения $E_n$ называются "энергетическими уровнями". Соответствующие им решения $\Psi_n$ обращают уравнение в верные равенства:

$\hat H \Psi_n=E_n \Psi_n$

В одномерных одночастичных задачах $n$ есть просто номер, нумерующий одновременно и уровни энергии $E_n$ и принадлежащие им волновые функции стационарных состояний $\Psi_n$. При этом оказывается, что всегда можно выбрать нумерацию так, что $n$ равно количеству узлов функции $\Psi_n,$ причем $ n$ изменяется с шагом единица, и нумерует уровни энергии в порядке их возрастания; а волновые функции с разными номерами (и тем самым принадлежащие разным уровням энергии) взаимно ортогональны.

В многомерной задаче картина сложнее: решения $\Psi_n$ нумеруются "мультиндексом" $n,$ состоящим из нескольких компонент ("квантовых чисел"), а значения $E_n$ могут оказаться не зависящими от каких-то компонент мультииндекса $n,$ то есть уровень энергии может быть одинаковым для разных (то есть линейно независимых) волновых функций.

Поэтому тут уже желательно чётко различать термины "уровень энергии" и принадлежащее ему "состояние": состояния описываются функциями $\Psi_n,$ и несколько разных состояний могут иметь одинаковый уровень энергии. В этом случае говорят, что уровень вырожден, а количество принадлежащих ему состояний называют его кратностью вырождения.

А теперь проведём простенькие испытания. Обозначим для удобства как $\Psi_1$ и $\Psi_2$ два разных решения, принадлежащие одному (вырожденному) уровню энергии, который для удобства обозначим как $E_1.$ Тогда имеем два верных равенства:

$\hat H \Psi_1=E_1 \Psi_1$
$\hat H \Psi_2=E_1 \Psi_2$

Умножим обе стороны первого равенства на произвольное число $c_1,$ а обе стороны второго - на $c_2,$ и сложим равенства. Пользуясь линейностью оператора $\hat H,$ вынесем его за скобку; тем самым получаем ещё одно верное равенство:

$\hat H(c_1 \Psi_1+c_2\Psi_2) = E_1(c_1 \Psi_1+c_2\Psi_2)$

Оно показывает, что линейная суперпозиция

$\Psi = c_1 \Psi_1+c_2\Psi_2$

решений, принадлежащих одному и тому же уровню энергии, есть тоже решение, причём - с той же энергией. Всегда можно составить взаимно ортогональные суперпозиции, так что и в случаях с вырождением мы можем иметь полный набор взаимно ортогональных стационарных состояний.

Аналогичное испытание покажет Вам, что суперпозиция $c_1 \Psi_1+c_2\Psi_2$ решений, принадлежащих разным значениям энергии $(E_2 \neq E_1),$ вообще не является решением уравнения $\hat H \Psi = E \Psi,$ то есть не является стационарным состоянием.

И здесь мы подошли к вопросу: а бывают ли кроме стационарных ещё и нестационарные состояния? Ответ: да, потому что основным уравнением квантовой механики служит так называемое волновое уравнение Шредингера для зависящих от времени волновых функций $\psi(t):$

$ i\hbar \frac{\partial \psi(t)}{\partial t} - \hat H \psi(t) =0$

Вы легко проверите (проделайте эту проверку обязательно !!!), что частные решения этого линейного однородного уравнения имеют вид стационарных состояний $\psi_n(t) = \Psi_ne^{-iE_nt/ \hbar},$ а общим решением $\psi(t)$ будет их суперпозиция с произвольными коэффициентами $c_n:$

$\psi(t)=c_1\psi_1(t)+c_2\psi_2(t) + ...$

Такое решение не имеет определённой энергии, но для него определяется среднее значение энергии:

$\langle E \rangle = \dfrac{\langle \psi(t)|\hat H| \psi(t) \rangle}{\langle \psi(t)| \psi(t) \rangle}$

Пусть все состояния подчинены условию нормировки на единицу, а стационарные состояния к тому же ещё и взаимно ортогональны:

$\langle \psi_n(t)|\psi_{n'}(t)\rangle = e^{-i(E_{n'}-E_n)t/ \hbar}\langle \Psi_n | \Psi_{n'}\rangle=e^{-i(E_{n'}-E_n)t/\hbar}\delta_{nn'}=\delta_{nn'}$

Тогда несложные выкладки (обязательно проделайте их!) приводят к вот такому результату:

$\langle E \rangle = |c_1|^2E_1 + |c_2|^2E_2 +...$

причём условие нормировки $\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle =1$ даёт:

$|c_1|^2 + |c_2|^2 +...=1$

Последние два равенства позволяют легко понять, что $|c_n|^2$ можно (и нужно) интерпретировать как вероятность обнаружения $E=E_n$ у системы с неопределённым значением энергии. Можно также сказать, что это есть вероятность обнаружить систему в состоянии $\Psi_n.$

Дальнейшее обобщение - рассмотреть систему с гамильтонианом, зависящим от времени. Типичная ситуация такая: $\hat H = \hat H_0+\hat V(t),$ где $\hat H_0$ - не зависит от времени ("невозмущённый гамильтониан"), $\hat V(t)$ - зависящий от времени оператор энергии "возмущения". Для таких задач развита так называемая теория возмущений. Кратко говоря, в ней решения волнового ур-я Шредингера с возмущённым гамильтонианом ищутся в виде суперпозиции стационарных состояний (невозмущённого гамильтониана) с зависящими от времени коэффициентами $c_n(t):$

$\psi(t)=c_1(t)\psi_1(t)+c_2(t)\psi_2(t) + ...$

Интерпретация: $|c_n(t)|^2$ по прежнему есть вероятность обнаружить систему в состоянии $\Psi_n,$ но поскольку теперь эти вероятности зависят от времени, то они дают нам информацию о вероятности переходов системы с одного уровня на другой под действием возмущения.

[Osmiy]

Cos(x-pi/2), спасибо огромное!

[Munin]

По поводу Ландафшица и Борисова.

Osmiy в сообщении #1080507 писал(а):

Как дальше жить то?

Прежде всего не путать две очень разные вещи:
- энергия, по контексту: конкретное значение энергии, которое может быть измерено в каком-то эксперименте;
- среднее значение энергии.

Это надо внимательно прочитать § 2 и § 3 Ландавшица.

Конкретное значение энергии: может быть измерено, имеет некоторую неопределённость, заранее предсказано быть не может.

А что может быть предсказано?
Распределение вероятностей конкретных значений энергии. Это некая функция (точнее, даже обобщённая функция), а не одно число. Эта функция не имеет неопределённости (до § 14, и после него снова). Она может быть измерена, но не одним опытом, а только большим количеством опытов. Чем больше опытов - тем точнее измеренная статистика приближается к истинному распределению вероятностей.

Среднее значение энергии: не может быть измерено одним опытом. Не имеет неопределённости, может быть предсказано заранее. Это просто одно число, вычисленное из распределения вероятностей. Поэтому оно точно так же может быть измерено большим количеством опытов. Это не единственное число, которое можно вычислить, и распределение вероятностей к этому числу не сводится.