Произведение экспоненциальных операторов

[sithif]

При решении задач по теории возмущений столкнулся с необходимостью вычислять следующее произведение:

$\exp(x_1) \exp(x_2) \dots \exp(x_n) = \exp(y)$

где $x_i = x_i(\varepsilon) = \varepsilon x_{i}^{(1)} + \varepsilon^2 x_{i}^{(2)} + \dots $ -- какие то элементы алгебры Ли и $\varepsilon$ -- параметр возмущения.

Необходимо определить $y^{(1)},y^{(2)},\dots,y^{(k)}$ для любого числа $n$ операторов в произведении.
При этом эти коэффициенты требуется выразить через коммутаторы, так как дальше используются разные морфизмы между скобками.

Есть ли уже готовые формулы для коэффициентов? Что можно почитать по этой теме?

В принципе мне удалось придумать как вычислять коэффициенты (но не хочется зря делать это, если это уже известно, да и формулы страшные), например:

$y^{(1)} = \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} x_{i}^{(1)}$

$ \begin{array}{rcl} y^{(2)} &=& \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} x_{i}^{(2)} \\ &+& \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} \frac{1}{1+\delta_{i,j}} \frac{1}{2} \{x_{i}^{(1)},x_{j}^{(1)}\} \\ \end{array} $

$ \begin{array}{rcl} y^{(3)} &=& \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} x_{i}^{(3)} \\ &+& \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} \frac{1}{1+\delta_{i,j}} \frac{1}{2} (\{x_{i}^{(1)},x_{j}^{(2)}\} + \{x_{i}^{(2)},x_{j}^{(1)}\}) \\ &+& \sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant k \leqslant n} \frac{1}{1+\delta_{i,j}} \frac{1}{1+\delta_{i,k}+\delta_{j,k}}( \frac{1}{4}\{\{x_{i}^{(1)},x_{j}^{(1)}\},x_{k}^{(1)}\} - \frac{1}{12} \{\{x_{i}^{(1)},x_{k}^{(1)}\},x_{j}^{(1)}\} - \frac{1}{12} \{\{x_{j}^{(1)},x_{k}^{(1)}\},x_{i}^{(1)}\}) \end{array} $

Здесь $\{a,b\} = a b - b a$ -- коммутатор и $\delta_{i,j}$ -- дельта Кронекера. В этих формулах есть некоторая избыточность,
например, $\frac{1}{1+\delta_{i,j}}$ в некоторых местах можно убрать изменив пределы суммирования, но это не влияет на ответ, так как $\{x_{i}^{(j)},x_{i}^{(j)}\} = 0$.

Еще интересует можно ли как то проще переписать эти суммы? Например, через интегралы или используя тождество Якоби?

[Munin]

Есть книжка
Назайкинский, Стернин, Шаталов. Методы некоммутативного анализа.
Я не уверен, что в ней вы найдёте ответ, но она мне вспомнилась. Кажется мне, она вся про это.