Определение предела

[Hop]

Пользуясь определением предела, доказать что:

$$\lim\limits_{x\to1}(\frac{3}{x}-1)=2$

Пуcть $\varepsilon>0$
Рассмотрим ф-ю $f(x)=(\frac{3}{x}-1)$ в некоторой окрестности точки $x_0=1$, (0,5;1,5). Преобразуем при $x \not=0 $ модуль разности
$$|f(x)-A|=\lvert\frac3x-1-2\rvert=\lvert\frac{3-3x}{x}\rvert=\lvert\frac{-3(x-1)}{x}\rver=\lvert\frac{-3(x-1)}{0,5}\rvert=\lvert-6(x-1)\rvert=\lvert-6\rvert \lvert x-1\rvert=6\lvert x-1\rvert$
Тогда если взять $\delta=\frac{\varepsilon}6>0$, то для любого x из (0,5;1,5) и удовлетворяющего неравенству $0<|x-1|<\delta$, будет выполняться неравенство $\lvert\frac3x-1-2\rvert<6|x-1|<6\delta=\varepsilon$

Правильно ли приведено доказательство?

[Dan B-Yallay]

Hop в сообщении #1080431 писал(а):

$$|f(x)-A|=\lvert\frac3x-1-2\rvert=\lvert\frac{3-3x}{x}\rvert=\textcolor{blue}{\lvert\frac{-3(x-1)}{x}\rver=\lvert\frac{-3(x-1)}{0,5}\rvert}=\lvert-6(x-1)\rvert=\lvert-6\rvert \lvert x-1\rvert=6\lvert x-1\rvert$

В выделенном синим: что Вы там сделали? Заменили переменную на 0.5? Тогда почему только в знаменателе?

[gefest_md]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1080436 писал(а):

Тогда почему только в знаменателе?

Это потому, что в числителе не $x$, а $x-1$. Hop, скажите, что не так.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

gefest_md в сообщении #1080456 писал(а):

Это потому, что в числителе не $x$, а $x-1$.

Это такая шутка юмора?

[gefest_md]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1080458 писал(а):

gefest_md в сообщении #1080456 писал(а):

Это потому, что в числителе не $x$, а $x-1$.

Это такая шутка юмора?

Вроде того. Цель ($\delta$) оправдывает средства.

Hop, я уверен, что Вы знаете определение предела функции. Но я также уверен, что Вы похуже решаете неравенство $\left|\frac{3(x-1)}{x}\right|<\varepsilon$ относительно $x$, которое Вам здесь необходимо решить. Можно для положительных $x$, как Вы начали.

[Hop]

gefest_md в сообщении #1080462 писал(а):

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1080458 писал(а):

gefest_md в сообщении #1080456 писал(а):

Это потому, что в числителе не $x$, а $x-1$.

Это такая шутка юмора?

Вроде того. Цель ($\delta$) оправдывает средства.

Hop, я уверен, что Вы знаете определение предела функции. Но я также уверен, что Вы похуже решаете неравенство $\left|\frac{3(x-1)}{x}\right|<\varepsilon$ относительно $x$, которое Вам здесь необходимо решить. Можно для положительных $x$, как Вы начали.

$$\left|\frac{3(1-x)}{x}\right|=\left| 3\right| \left|\frac{(1-x)}{x}\right|\leqslant3\frac{(1+x)}{x}$

$$x>\left[\frac{3}{\varepsilon-3}\right]+1$

Так?

[provincialka]

Можно сделать проще. Имеем: при $|x-1|<\delta$ выполняется $\left|\frac{3(1-x)}{x}\right|<\frac{3\delta}{x}$. Если бы знаменатель был маленьким, то дробь была бы большой. Но про положительном $x_0 = 1$ знаменатель не будет мал, так как он близок к 1. Например, как вы правильно заметили, можно считать, что $x$ лежит в промежутке $(0,5; 1,5)$. Тогда $x>1/2$ и $\left|\frac{3(1-x)}{x}\right|<\frac{3\delta}{1/2}=6\delta$

[gefest_md]

Выходит, что важно то, как определить функцию. Если её определить на интервале $\left(\frac12,\frac32\right)$, тогда в Вашей записи

Hop в сообщении #1080431 писал(а):

$$\lvert\frac{-3(x-1)}{x}\rver=\lvert\frac{-3(x-1)}{0,5}\rvert=\ldots =6\lvert x-1\rvert$

надо первый знак равенства заменить знаком "строго меньше", и дописать в конце $<6\delta=\varepsilon$, так как Вы выбрали $\delta=\frac{\varepsilon}{6}.$

Что касается решения неравенства на том же интервале, у меня получилось $\frac{3}{3+\varepsilon}<x<\frac{3}{3-\varepsilon}$, если $\varepsilon <3$.

[demolishka]

gefest_md, зачем Вы морочите человеку голову решением каких-то неравенств?
Единственное в чем следовало упрекнуть Hop, так это в неправильной записи ответа.

Hop в сообщении #1080431 писал(а):

Тогда если взять $\delta=\frac{\varepsilon}6>0$, то для любого x из (0,5;1,5)

Вот этот момент следует писать как $\delta := \min\{\frac{\varepsilon}{6},\frac{1}{2}\}$.

[gefest_md]

demolishka в сообщении #1080628 писал(а):

gefest_mdзачем Вы морочите человеку голову решением каких-то неравенств?

Спорный вопрос. Здесь идея была выбрать точное значение: $\delta=\frac{\varepsilon}{\varepsilon +3}.$ Но для этого надо поиграться с неравенствами.

[provincialka]

gefest_md в сообщении #1080632 писал(а):

Здесь идея была выбрать точное значение:

Зачем?

[gefest_md]

provincialka в сообщении #1080639 писал(а):

gefest_md в сообщении #1080632 писал(а):

Здесь идея была выбрать точное значение:

Зачем?

Это приз за умение решать неравенства. Потом решение чуточку легче читается проверяющим.

[provincialka]

Зато "оценочное" решение дает навык рассуждения, которое можно применить и дья "нерешаемых" неравенств. И вообще оно идеологически более глубокое.

[gefest_md]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1080644 писал(а):

"нерешаемых" неравенств

К сожалению, не знаком достаточно хорошо с предметом. Вы бы не могли привести пример такого неравенства? Мне интересно.

[provincialka]

gefest_md
Да практически любое кубическое. Не решается явно в элементарных функциях.
Или вот ещё. Попробуйте найти точную зависимость $\delta$ от $\varepsilon$ при доказательстве непрерывности функции $\ln(x)+x$ в точке 2.