Пересечение трёх сфер.

[Gickle]

День добрый, господа. Немного стыдно даже спрашивать такие вещи, но что-то я совсем запутался, по-моему. Ситуация такая:

Пусть имеется три сферы радиусами $R_1, R_2$ и $R_3$ и с координатами центров $(x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2)$ и $(x_3,y_3,z_3)$ соответственно. Необходимо выяснить, есть ли тройное пересечение, а если есть, то какова его площадь.

Здесь (Surface area of the intersection of three spheres with unequal radii A simplified analytical formula) фигурирует ответ на вторую часть задачи. При этом в выражении присутствует величина $w$, определяемая выржением:

$$ w^2 = \frac 1 2 \begin{Vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & R_3{}^2 & R_2{}^2 & R_1{}^2\\ 1 & R_3{}^2 & 0 & R_{23}{}^2 & R_{13}{}^2\\ 1 & R_2{}^2 & R_{23}{}^2 & 0 & R_{12}{}^2\\ 1 & R_1{}^2 & R_{13}{}^2 & R_{12}{}^2 & 0\\ \end{Vmatrix} $$

Здесь, разумеется, $R_{ik}$ - расстояние между i-й и k-й сферами.

То есть явным образом подразумевается, что дискриминант является величной неотрицательной. В общем-то, мне в задаче тройные персечения нужно вычислять очень много раз, поэтому изначально для облегчения задачи я хотел забить на проверку наличия тройного пересечения, что если есть пересечение 1-2, 2-3, 1-3, то есть и тройное персечение. Мне казалось, что в почти монодисперсной системе случайно разбросанных сфер это почти всегда так. Кроме того, я ожидал, что случаи, когда тройные персечения будут отстутвовать, а программа будет думать иначе (в виду отстутствия соответствующей проверки), будут приводить просто к появлению отрицательных площадей, что в силу вышесказанного мне казалось несущественным из-за вышесказанного.

Итак, мне стало понятно, что на проверку забивать нельзя, хотя бы потому, что иначе вычисления будут проводиться неверно. Как я понимаю, тройное пересечения не имеет места быть, если система

$$ \begin{cases} (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = R_1{}^2&\\ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2 = R_2{}^2&\\ (x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2 = R_3{}^2&\ \end{cases} $$

не имеет ни одного одного набора $(x,y,z)$ действительных решений.

Встаёт вопрос: является ли это эквивалентным тому, что $w^2 < 0$? То есть то, что из $w^2 < 0$ следует отстутсвите тройного персечения, я почти не сомневаюсь. А наоборот? В общем, я пытался решить эту систему, чтобы дать ответ на этот вопрос. При этом, как я понимаю, можно положить $z_1 = z_2 = z_3 =0$, что будет отвечать простому повороту всей системы. Но, к своему стыду, я что-то совсем запутался.

Итак, буду признателен, если кто-нибудь ответит на один (два) вопрос(а):

1. Эквивалентны ли утверждения, названные выше?
2. Если нет, то как проще всего проверить наличие пересечения 1-2-3 при известных радиусах и координат центров? Это, подозреваю, делается моментально, если нормально решить систему выше.

Повторюсь ещё раз, что при этом подразумевается наличие пересечений 1-2, 2-3 и 1-3. Заранее спасибо за любую помощь.

[Brukvalub]

Gickle в сообщении #1080053 писал(а):

Пусть имеется три сферы радиусами $R_1, R_2$ и $R_3$ и с координатами центров $(x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2)$ и $(x_3,y_3,z_3)$ соответственно. Необходимо выяснить, есть ли тройное пересечение, а если есть, то какова его площадь.

Даже две не совпадающие сферы могут пересекаться не более, чем по окружности. Площадь окружности равна $0$. Так как может иметь какую-либо, кроме $0$, площадь пересечение трех не совпадающих сфер? В чем тогда смысл вопроса о площади?

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #1080056 писал(а):

В чем тогда смысл вопроса о площади?

В том что это объём, судя по размерности.

[Gickle]

Brukvalub
Площади вырезаемых сегментов уж, ну. Но это вопрос совершенно непринципиальный на самом деле, потому что, как я уже говорил, для них выражения приведены в указанной статье. Реально важными для меня являются два вопроса, выделенных в конце.

[Brukvalub]

Gickle в сообщении #1080061 писал(а):

Площади вырезаемых сегментов уж, ну

Каких сегментов уж но? Вы читали мое сообщение? Имеете что возразить по существу моего заявления об окружности? При чем здесь сегменты?

[Gickle]

Brukvalub
При пересечении двух сфер получается линза, которая уже имеет ненулевую площадь. Аналогично при пересечении трёх сфер также вырезается некоторый объект, о площади поверхности которого и шла речь выше.
P.S. Давайте предположим, что вместо слова "сфера" я сказал изначально слово "шар". Хотя, как мне кажется, словосочентание "площадь пересечения сфер" хоть и является в целом неверным, но о чём идёт речь, совершенно ясно. Просто потому, что не так много объектов, имеющих ненулевую площадь, появляется при персечении сфер.

[Aritaborian]

Gickle, но вы ведь согласны с тем, что сфера и шар это разные геометрические объекты, не зря обозначаемые разными словами?

Gickle в сообщении #1080080 писал(а):

Просто потому, что не так много объектов, имеющих ненулевую площадь, появляется при персечении сфер.

Да, не так много. Только один, насколько я могу понять ;-)

[Brukvalub]

Gickle в сообщении #1080080 писал(а):

При пересечении двух сфер получается линза, которая уже имеет ненулевую площадь.

Ага, а эллипсоид - это сфера, вписанная в куб $2X3X5$.
Нет, при пересечении двух сфер получается окружность. Просто вы путаете педали сферы и шары.

[Gickle]

Aritaborian
Это вполне себе немного, как по мне. А с тем, что сфера и шар - разные объекты, довольно сложно не согласиться, как мне кажется.
Brukvalub
А прямоугольный параллелепипед - трёхмерный (опционально) прямоугольник, да.

[Aritaborian]

Gickle в сообщении #1080105 писал(а):

А прямоугольный параллелепипед - трёхмерный (опционально) прямоугольник, да.

Вы не уловили шутку ;-(

[Gickle]

Aritaborian
Наверное. Как бы там ни было, к предмету обсуждения это отношения особого не имеет, по-моему.

[Dmitriy40]

Gickle
Вообще говоря имеет: объект пересечения трёх шаров вполне может существовать при отсутствии решения той вашей системы уравнений для сфер в первом сообщении. Т.е. наличие/отсутствие решения вам ничего не даст. Для шаров там надо не $=$ писать, а $\leqslant$.
Далее, шары (а тем более сферы) могут быть вложенными друг в друга, тогда решением будет часть (или весь) наименьшего из шаров. А не только лишь кусок линзы. Этого вы тоже не оговорили в условиях.
PS. А шутка была в том чтобы показать опасность вольного использования слов-определений (сфера/шар) в математике.

[Iam]

Возможно, полезной будет статья в «Математических заметках» Л. С. Чхартишвили «Объем области пересечения трех сфер»(2001 г).

[Gickle]

Dmitriy40

Цитата:

Далее, шары (а тем более сферы) могут быть вложенными друг в друга, тогда решением будет часть (или весь) наименьшего из шаров. А не только лишь кусок линзы. Этого вы тоже не оговорили в условиях.

Да, прошу прощения, по условию вложены быть не могут.

Цитата:

Вообще говоря имеет: объект пересечения трёх шаров вполне может существовать при отсутствии решения той вашей системы уравнений для сфер в первом сообщении. Т.е. наличие/отсутствие решения вам ничего не даст. Для шаров там надо не $=$ писать, а $\leqslant$.

А почему не даст-то? Если я правильно понимаю, то с учётом сказанного выше возможны только три варианта: 0, 1 или 2 точки, удовлетворяющие системе. Собственно, именно последний случай и отвечает тройному пересечению. Решение же систему задаст область, которую это "тройное пересечение" ограничивает. То есть с точки зрения ответа на вопрос "есть ли тройное пересечение вообще?" решение той системы что-то даст. Разве нет?
Iam
Да, спасибо, если не ошибаюсь, там в конце статьи явный ответ на мой вопрос.

[B@R5uk]

Тут ещё может быть забавная ситуация, когда пересечение трёх шаров не пустое множество, но соответствующие три сферы не пересекаются. Проще всего это можно представить, когда центры всех трёх сфер лежат на одной прямой. Центр одной лежит внутри другой, большей по радиусу, так что они пересекаются по небольшой окружности. А центр третьей сферы лежит вне второй сферы, но она пересекает обе первые сферы. Фигура пересечения соответствующих шаров будет похожа на двояковыпуклую линзу, у которой одна сторона частично сошлифована до сферы с большим радиусом. При этом коллинеарность центров окружностей не обязательна.