В этой теме мы сделаем обзор предыдущих тем, посвящённых поиску доказательства ВТФ для

.
Будем включать в обзор только только те результаты, которые, по нашему мнению, не утратили актуальность.
Если ненулевые, взаимно-простые целые числа

,

и

удовлетворяют уравнению Ферма:

, то

, где

,

- простое число, большее двух.
Мы предполагаем, что

не делится на

.
Это условие выполняется если

делится на

( то есть во втором случае ВТФ), поскольку в равенстве

из двух чисел

и

одно делится на

, а другое нет.
Для простоты мы не будем рассматривать первый случай ВТФ (то есть если

не делится на

), так как cчитаем, что сможем обобщить доказательство второго случая ВТФ на первый, и, кроме этого, существуют общие доказательства первого случая для многих

.
Пусть
![$c=x^2-\sqrt[n]{4} y z, d=x^{2 n-2}+x^{2 n-4} y z \sqrt[n]{4}+x^{2 n-6} (y z)^2 (\sqrt[n]{4})^2+...+(y z)^{n-1} (\sqrt[n]{4})^{n-1}$ $c=x^2-\sqrt[n]{4} y z, d=x^{2 n-2}+x^{2 n-4} y z \sqrt[n]{4}+x^{2 n-6} (y z)^2 (\sqrt[n]{4})^2+...+(y z)^{n-1} (\sqrt[n]{4})^{n-1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/b/1fb311e91f872bf104f1b6e18448ec7882.png)
.
То есть

, где
![$u=x^2, v=\sqrt[n]{4} y z$ $u=x^2, v=\sqrt[n]{4} y z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/2/6322f7f120474a787c12fc760da32a0482.png)
.
Деля полином

на полином

получим остаток

.
Значит число

делится на любой общий делитель чисел

и

.
Число

взаимно-просто с числом

, в силу предположения, что

не делится на

(поскольку

).
Число

тоже взаимно-просто с числом

, поскольку взаимно-просто с числом

.
Значит число
![$(\sqrt[n]{4})^{n-1}$ $(\sqrt[n]{4})^{n-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/7/8e71e8ff02428a72ba4bbb82ae29d40b82.png)
делится на любой общий делитель чисел

и

.
Следовательно, если

- нечётное число, то числа

и

не имеют общих делителей, а если

- чётное число, то числа
![$c/\sqrt[n]{4}$ $c/\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77b108dc65e842eb94f28f3cddd56f6782.png)
и
![$d/(\sqrt[n]{4})^{n-1}$ $d/(\sqrt[n]{4})^{n-1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/a/04ae69ce380ed96ecdb5e1364ba2292f82.png)
не имеют общих делителей (поскольку не делятся на
![$\sqrt[n]{2}$ $\sqrt[n]{2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/5/9257194dc6a0fbd0b6f9f0847ce7095982.png)
).
Если

- нечётное число, то

, следовательно

является квадратом идеала поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/c/91c267aa7287b46623e205d06ffb45d082.png)
.
Если

- чётное число, то
![$(c/\sqrt[n]{4})(d/(\sqrt[n]{4})^{n-1})=(a/2)^2$ $(c/\sqrt[n]{4})(d/(\sqrt[n]{4})^{n-1})=(a/2)^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/b/aeba9e8171e73dee5074eb71a259a2a682.png)
, следовательно
![$c/\sqrt[n]{4}$ $c/\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77b108dc65e842eb94f28f3cddd56f6782.png)
является квадратом идеала поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/c/91c267aa7287b46623e205d06ffb45d082.png)
.
Предположим теперь, что в кольце алгебраических чисел поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/c/91c267aa7287b46623e205d06ffb45d082.png)
имеет место единственность разложения на простые множители.
Мы проверили это для всех простых

.
При этом предположении, если

- нечётное число, то

является квадратом целого алгебраического числа поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/c/91c267aa7287b46623e205d06ffb45d082.png)
, а если

- чётное число, то
![$c/\sqrt[n]{4}$ $c/\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77b108dc65e842eb94f28f3cddd56f6782.png)
является квадратом целого алгебраического числа этого поля.
Сначала, мы доказали это для

и

, а затем для любого

(для которого имеет место преположение о единственности разложения на простые множители в кольце алгебраических чисел поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/c/91c267aa7287b46623e205d06ffb45d082.png)
).
Это доказательство приведено в первом сообщении темы "ВТФ - поиск доказательства для любого

- тема 2".
В нём предполагается, что

- нечётное число, и используется то, что

сравнимо с

по модулю

.
Но доказательство проходит и для случая, когда

- чётное число, поскольку
![$c/\sqrt[n]{4}$ $c/\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77b108dc65e842eb94f28f3cddd56f6782.png)
сравнимо с

по модулю

.
Это сравнение является следствием того, что

делится на 4, и

.
То, что

делится на

следует из того, что

делится на

(это обосновывается в упомянутом доказательстве в теме "ВТФ - поиск доказательства для любого

- тема 2"). То, что

следует из того, что

делится на

, что в свою очередь следует из того, что

делится на

, а

- нечётное число.
Продолжение следует.