Граничные условия связанные с дельта функцией

[alarig1995]

У меня вопрос со следующей задачей. Для ясности дам ее постановку. Есть бесконечная решетка в пространстве. Решетка состоит из параллельно заряженных проволок расположенных в одной плоскости. Решетка расположена посередине между двумя параллельными заземленными плоскостями. Т.е. расстояние от решетки до пластины $L$, а шаг решетки $d$. Пусть квадратная не суть. Найти распределение потенциала в такой системе.

Я ее разбил на два куска. Один кусок состоит в том, что условия те же, только у нас не решетка а просто серия параллельных проволок, второй кусок такой же,только в другой плоскости. Моим решением будет их суперпозиция. На рисунке 1.1 представил вид сверху на серию проволок в плоскости $xy$

Рисунок 1.1


Пишем дифференциальное уравнение. $\Delta U = \varkappa \delta (x) \delta (y). Про граничные условия я понимаю кроме одного. $\varkappa$ - линейная плотность заряда. Возникает проблема с определением производной по оси абсцисс в точке $x = 0$. По оси ординат я взял граничные условия равенства нулю потенциалов на обоих пластинах. По оси абсцисс взял еще условие равенства нулю производной в точке $\frac {d} {2}$.

Заранее благодарю за подсказки.

[AnatolyBa]

Представьте проволоку как полоску конечной ширины. Я думаю так будет легче.
И устремите затем ширину к нулю

[alarig1995]

Но при этом у меня возникнет больше граничных условий. Мне преподаватель сказал воспользуйся свойствами дельта функции. Я знаю что бы произошло с производной если бы задача была одномерной. Был бы скачок производной. А вот тут как мне такое написать я не совсем понял.

[Vince Diesel]

А есть ли явная формула для одного точечного заряда на средней прямой? Если да, то решением будет сумма по всем точкам.

[alarig1995]

не знаю таковой. Внесу малую ясность. Вообще все это матфизика. Тут я решение должен в виде ряда получить. Т.е. тут не просто задачка по физике

[oniksofers]

alarig1995 в сообщении #1079711 писал(а):

Тут я решение должен в виде ряда получить.

Первое, что приходит в голову, воспользуйтесь рядами Фурье

[Pphantom]

alarig1995, не забывайте оформлять отдельные обозначения так же, как формулы. Пару таких в первом сообщении темы я уже исправил.

[AnatolyBa]

Задачу можно решать по разному. Я полагаю ваш метод - решить уравнение Лапласа с граничными условиями, так?
Какую область вы рассматриваете? Нужно рассматривать половину ограниченную плоскостью с одной стороны и рядом проволок с другой. В этом случае на плоскости граничное условие - равенство нулю потенциала. А там где проволоки - условие для вертикальной компоненты напряженности.
Или вы по другому хотите решить? Можно рассматривать сразу уравнение Пуассона, но технически это сложнее. Правда в этом случае нужно только граничное условие на плоскостях

Vince Diesel в сообщении #1079710 писал(а):

А есть ли явная формула для одного точечного заряда на средней прямой

Есть формула для потенциала нити между плоскостями. Но глаз она не радует. Логарифм функции от гиперболических и обычных косинусов
(В конце концов задачу можно решить и методом отражений, но, я понимаю, не в этом цель)

[vasya321]

На практике задача расчета эл. статического поля (точнее, поля коронного разряда) в геометрии "бесконечный ряд проводов между плоскостями" возникает в электрофильтре. Для расчета используется конформное отображение области, ограниченной заземленными плоскостями и двумя линиями симметрии, проходящими по обе стороны провода, на область между коаксиальными цилиндрами с помощью функции $w = j \sin \frac{\pi z}{d}, \; z=x+j y, \; $. Для коаксиальных цилиндров имеется аналитическое решение ур. Пуассона. В итоге получается выражение для напряженности эл. стат. поля: $\mathbf{E} = \frac{\pi U \ctg \frac{\pi \mathbf{z}}{d}}{d \left(\frac{\pi h}{d} - \ln \frac{2 \pi r_0}{d}\right)}$, где $U$ — потенциал провода, $r_0$ — радиус провода, $2 h$ — расстояние между заземленными плоскостями, $d$ — расстояние между проводами. Подробнее см. Верещагин - Основы электрогазодинамики дисперсных систем, стр. 27, 60. Возможно, это не то что от вас хочет преподаватель.

[alarig1995]

Спасибо за внимание, которые вы оказываете к моей задаче. Видимо, я очень плохо описал задачу. Повторюсь, это моя задача по матфизике. Такие задачи решать вроде умею, по крайней мере слова метод Фурье, задача Штурма-Люивилля и метод Гринберга мне знакомы. Фишка в граничных условиях. Как я их выбирал? По оси ординат я взял два условия равенства нулю потенциалов (т.е. $U(y=L)=U(y=-L)=0$). По оси абсцисс я задал равенство нулю производной потенциала $U$ по переменной $x$ в точке $\frac {d}{2}$. Это дает мне периодичность проводов. Сам провод помещен в центр системы координат для удобства. Осталось последнее граничное условие. И тут то я и должен использовать свойства дельта функции. Вот как то так. Я понимаю как использовать в случаи одномерной задачи. И еще само уравнение может быть я неправильно составил. Просто уравнение и граничные условия должен составить сам. Надеюсь, теперь стало ясней.

[AnatolyBa]

Я бы решал уравнение Лапласа в области ограниченной с одной стороны плоскостью, скажем верхней, с граничным условием $U=0$, а с другой стороны плоскостью с проволоками с граничным условием $\frac{\partial U}{\partial y}=-E_y=-2 \pi \sigma = - 2 \pi \varkappa \delta (x)$
Здесь понимается такая периодическая дельта функция - в соответствии с положением проволок. Ее можно разложить в ряд фурье