Волновые функции и потенциалы

[Osmiy]

Даны две волновые функции нечетная (рис. 1.1) и четная (рис. 1.2). На нормировку здесь и далее не нужно обращать внимание.


Их квадраты (рис. 2.1 и 2.2) качественно совпадают. Т.е. имеют по два максимума.


Можно ли утверждать что первая волновая функция соответствует основному состоянию частицы в потенциальной яме с двумя минимумами (рис. 3.1), а вторая первому возбужденному состоянию частицы в простой потенциальной яме (рис. 3.2)?

Характер потенциалов взят произвольно.

Сам я основываюсь исключительно на интуиции и эмпирических знаний в этой области.
Вторая волновая функция меняет знак и имеет два экстремума. Такое поведение функции характерно для второго энергетического уровня, когда частица находиться в какой-либо потенциальной яме: частица в прямоугольной яме (там один период синусоиды), гармонический осциллятор, 2s- и 2p-орбитали в атоме.
В первом же случае функция не меняет знак. Это характерно для первого энергетического уровня. Но так как там есть два "сгустка" плотности, в профиле потенциальной энергии частицы должны быть два минимума.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
Причина переноса:
Отсутствуют собственные попытки решения задачи.

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27356 писал(а):

I. Нарушения и санкции
1) Нарушением считается:
г) Поиск халявы в отношении учебных задач и вопросов; публикация полных готовых решений учебных задач (см. п. III-2); вынесение на обсуждение задач еще не прошедших он-лайн и заочных олимпиад.

Приведите собственные содержательные попытки решения задачи и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: Вернул.

[AL Malino]

Утверждать второе, если и возможно, то с большой натяжкой: характер поведения в окрестности нуля будет всё же не таким. Скорее “более синусоидальным”.

А что до первого утверждения, то оно наполовину-абсолютно неверно Сейчас разъясню смысл употреблённого термина.
При наличии дополнительного потенциального барьера, как у Вас нарисовано, полная волновая функция будет, вообще говоря, представлять собой суперпозицию симметричной и антисимметричной компонент (вот они-то у Вас и приведены на рисунках по отдельности, скорее всего), а нулевой уровень энергии будет ращеплён. Причём это расщепление будет тем больше, чем ниже высота барьера по отношению к нулевому уровню в “половинной” яме.

В качестве характерного примера могу предложить молекулу аммиака.

[Osmiy]

AL Malino в сообщении #1079378 писал(а):

Утверждать второе, если и возможно, то с большой натяжкой: характер поведения в окрестности нуля будет всё же не таким. Скорее “более синусоидальным”.

Ну да. В случае например гармонического осциллятора там будет такая примерно функция.

AL Malino в сообщении #1079378 писал(а):

При наличии дополнительного потенциального барьера, как у Вас нарисовано, полная волновая функция будет, вообще говоря, представлять собой суперпозицию симметричной и антисимметричной компонент (вот они-то у Вас и приведены на рисунках по отдельности, скорее всего), а нулевой уровень энергии будет ращеплён. Причём это расщепление будет тем больше, чем ниже высота барьера по отношению к нулевому уровню в “половинной” яме.

Тут не совсем понял.
Т.е. решением будут две волновые функции с одинаковыми энергиями, но отвечающими за положение "частица слева" и " частица справа" как на рисунках 1 и 2.
А общим решением будет их линейная комбинация. Как например равномерная комбинация на рисунке 3.

[Red_Herring]

Вообще-то нечётная функция похожа на первое возбуждённое состояние в двойной (симметричной) потенциальной яме.

[Osmiy]

Red_Herring в сообщении #1079394 писал(а):

Вообще-то нечётная функция похожа на первое возбуждённое состояние в двойной (симметричной) потенциальной яме.

А разве там не должен меняться знак функции, если это возбужденное состояние?

-- 04.12.2015, 16:28 --

Так-с. Всё оказалось сложнее чем я себе представлял. Точнее не так как себе представлял.

Я взял две функции: сумму и разность разнесенных гауссовых функций
$\Psi_1=c_1 e^{-(x+a)^2}+c_2 e^{-(x-a)^2}$
$\Psi_2=c_1 e^{-(x+a)^2}-c_2 e^{-(x-a)^2}$

Потом нашел для них выражение (которое пропорционально потенциальной энергии)
$\frac{\Psi''}{\Psi}\sim U$

Эти выражения сложные, я сразу графики приведу.
Вот что получилось



(синее- потенциал, фиолетовое- функция)

В общем мне надо кое-что покурить и переосмыслить.

[Red_Herring]

Osmiy в сообщении #1079400 писал(а):

А разве там не должен меняться знак функции, если это возбужденное состояние?

Так он и меняется: в 0. Поскольку графики с.ф. очень плоские в 0, то мы заключаем, что высота барьера между ямками большая и потому нижние с.ф. ходят парами: с с.з. чётных чуточку ниже и с с.з. нечётных чуточку выше. Это касается не только самых нижних, но и 3й и 4й (у них уже знаки будут по разу меняться внутри ямок), 5й и 6й, ....

[Osmiy]

Мне так и не удалось найти модельной системы.
Я хотел узнать путем аналитического решения УШ, если потенциал представляет собой двойную симметричную яму, то волновая функция всегда будет симметричной относительно центра симметрии ямы, или есть еще такие состояния, когда частица находится преимущественно слева или справа от потенциального барьера?

[Munin]

Смотря что вы называете волновой функцией. Если собственное состояние гамильтоняна (стационарную в. ф., по-физически), то нет. И это можно просто доказать.

Точнее, в вырожденных случаях есть такой базис, что все собственные функции симметричны. Но не факт, что нет такого базиса, что не все.

[Osmiy]

Я представлял себе ситуацию так. При решении УШ для двойной потенциальной ямы должны были получиться две волновые функции, отвечающие чистым состояниям "частица слева" и "частица справа", имеющие одинаковую энергию.
Соответственно есть еще множество смешанных состояний, в том числе состояние, когда частица находится равновероятно в двух ямках.

Сейчас объясню почему я с этим заинтересовался.

В квантовой химии при решении УШ методом ССП МО ЛКАО ХФ получаются т.н. делокализованные МО. Иногда требуется найти локализованные МО (те самые резонансные структуры). Для этого используют в основном два эмпирических критерия локализованности электронной плотности (основанных на электростатических соображениях).
И я хотел это дело поисследовать на простой модели, и заодно свою идею критерия проверить.
Я был уверен что делокализованное состояние это просто смешанное состояние локализованных структур. И в качестве модели выбрал двойную потенциальную яму. Где локализованными состояниями являлись бы те самые состояния "частица слева" и "частица справа", а делокализованное состояние являлось просто равновесно смешанным состоянием.

Теперь что то засомневался. Возможно там речь идет о суперпозиции состояний. В общем мне надо освежить знания из той области.

[Red_Herring]

Osmiy в сообщении #1079683 писал(а):

Я представлял себе ситуацию так. При решении УШ для двойной потенциальной ямы должны были получиться две волновые функции, отвечающие чистым состояниям "частица слева" и "частица справа", имеющие одинаковую энергию.
Соответственно есть еще множество смешанных состояний, в том числе состояние, когда частица находится равновероятно в двух ямках.

Неверно! Если мы рассматриваем одномерный Шрёдингер на оси, то все с.з. однократны. Поэтому если потенциал симметричен, то с.ф. $\psi_1,\psi_3,\ldots$ будут чётными, а с.ф. $\psi_2,\psi_4,\ldots$ будут нечётными. Никаких частиц слева/справа!

Но как я уже объяснял, если барьер высок или ямки разнесены, то нижние с.з. будут ходить близкими парами и там частица слева/частица справа будут хорошо приближаться суперпозициями этих двух состояний.

[Osmiy]

Red_Herring
Спасибо, Вы сэкономили мне кучу времени.

[Red_Herring]

И вообще, у Шрёдингера (даже многомерного) и многих других операторов (но не у всех операторов высших порядков!) с.ф. не могут обращаться в 0 ни на каком непустом открытом множестве. Это может казаться противоречащим "классическому здравому смыслу" но противоречия нет: в квазиклассическом приближении в запрещённых областях с.ф. очень быстро (как экспонента от $1/\hbar$) убывают. Но всё равно не 0.

[AlexDem]

Osmiy в сообщении #1079683 писал(а):

Теперь что то засомневался. Возможно там речь идет о суперпозиции состояний. В общем мне надо освежить знания из той области.

Добавлю, что наличие смеси сигнализирует о неполноте информации о системе. У Вас же всё известно, поэтому система должна описываться волновой функцией, а это только суперпозиция.