Кривая Фрея и ВТФ

[grisania]

Кратко: можно ли найти другой путь док-ва, что кривой Фрея для ВТФ при $n>3$ как реальный математический объект не существует, отличный от пути, предложенного Уайлсом. В виде идеи предлагается путь, где надо доказать, что не существует группа Морделла-Вейл сложения точек кривой Фрея при $n>3$. Для этого достаточно доказать, что ранг кривой и ранг группы кручения равны нулю.
В начале можно попытаться этот путь пройти, когда $n=3$.

ВТФ для $n\geq3$ – это доказать, что уравнение

$a^n+b^n=c^n$, $abc\neq0$ (1)

не имеет целых решений.

Решения ВТФ для $n=2$ существуют, т.е. существуют такие $a, b, c$, что

$a^2+b^2=c^2$, $abc\neq0$. (2)

Немецкий математик Фрей показал [1, 2] что, если сделать предположение, что решение уравнения (1) существует, то при помощи хитроумных математических преобразований оно сводится к специфической эллиптической кривой (3) (кривой Фрея)

$E_n(Q): y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$, где $ a^n+b^n=c^n$. (3)

Интересно увидеть эти хитроумные математические преобразование, но у меня нет доступа к [1, 2], а то, что они Фреем проделаны, указывается в [3, стр.8]. Обычно, кривая Фрея постулируется, а не выводится из уравнения (1).

Для $n=2$ кривая Фрея имеет вид:

$E_2(Q): y^2=x(x-a^2)(x+b^2)$, где $a^2+b^2=c^2 $.

Гипотеза. Кривая $E_2(Q)$ имеет нулевой ранг, т.е. в группе $E_2(Q)$ не существует бесконечных циклических элементов (точек).
Наверно, специалистам по эллиптическим кривым это хорошо известно, например, в [4] это утверждается, но ссылка не приводится.
Из работы японца Оно [5, Main Theorem 1] следует, группа кручения кривой $E_2(Q)$ содержит группу $\mathbb{Z}2\times \mathbb{Z}4$. Следовательно, группа кручения нетривиальная, а тогда эллиптическая кривая $E_2(Q)$ существует.

Фрей сделал предположение, что эллиптических кривых $E_n(Q)$ не существуют при $n>2$. Тогда отсюда следовала бы ВТФ. Для этого Фрей предложил доказать, что его кривая немодулярная (не будем обсуждать, что это такое).
Именно такой путь и выбрал Уайлс, когда начал свою атаку на ВТФ, зная, что в 1986 году Кен Рибет доказал, что эллиптическая кривая $E_n(Q)$ для $n>3$ немодулярная.
Резюмируем док-во ВТФ по Уайлсу
Теорема Рибета. Кривая $ E_n(Q), n>3$, немодулярная.
Теорема Уайлса. Кривая $E_n(Q), n>3$, модулярная.
Противоречие. Следовательно, нетривиальных решений ВТФ для $n>3$ не имеет.

Однако, док-во Уайлс трудное и длинное. Поэтому может другой путь будет легче.
Для этого опять постулируем, что Кривая Фрея существует, тогда существует группа Морделла-Вейля - группа сложения точек эллиптической кривой $E_n(Q)$. По теореме Морделла-Вейл эта группа $E_n(Q)$ конечная, и если доказать, что ранг этой группы равен нулю, а также нулю равен ранг группы кручения, то группа Морделла-Вейл $E_n(Q)$ тривиальная. Получим другое док-во ВТФ.

Предлагается обсудить этот путь на форуме. Большая просьба на этой ветке ферматикам не флудить , хочется нормального обсуждения. Может я где-то ошибаюсь, то просьба указать ошибки.
Что такое группа Морделла-Вейля эллиптической кривой, её ранг, группа кручения популярно можно прочитать в [6].

[1] G. Frey, Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations, Ann. Univ. Sarav. 1 (1986), 1-40. (нет доступа)

[2] G. Frey, Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven, J. reine u. angew.
Math. 331 (1982), 185-191. (нет доступа)

[3] D.A. Cox, Introduction to Fermat's last theorem, Amer. Math. Monthly 101 (1) (1994), 3-14.
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/cox.pdf

[4] B. Naskręcki, Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves associated to Pythagorean triples
http://arxiv.org/pdf/1210.6933v2.pdf

[5] K. Ono, Euler’s Concordant Forms. Acta Arithmetica 65, 1996, pp. 101-123.
http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/016.pdf

[6] Боро В. Цагир Д. Рольфс Ю. Крафт Х. Янцен Е. Живые числа. Пять экскурсий (1985, Мир)
http://www.vixri.com/d/BORO%20V.%20%20_%20ZhIVYE%20ChISLA.pdf

[Yarkin]

"Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3". Или Вы ухитрились обойти это условие?

[Brukvalub]

grisania в сообщении #1075825 писал(а):

Кратко: можно ли найти другой путь док-ва, что кривой Фрея для ВТФ при $n>3$ как реальный математический объект не существует, отличный от пути, предложенного Уайлсом.

Дичь какая-то... Вы бы, любезный, сначала разобрались, какой именно факт про кривую Фрея использован для доказательства ВТФ, а уж потом "теории" строить брались!
Кривая Фрея всегда существует "как реальный математический объект".

[grisania]

Yarkin в сообщении #1078685 писал(а):

"Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3". Или Вы ухитрились обойти это условие?

Моё сообщение не является попыткой доказать ВТФ, а есть желание понять что такое кривая Фрея, рассматривая путь док-ва, предложенный мной. Тогда может быть будет легче понять док-во ВТФ, предложенное Уайлсом. Для этого в начале надо понять, что за кривая Фрея будет для $n=2$.

Так как существуют целые числа $a, b, c$, удовлетворяющие условию $a^2+b^2=c^2 $, где $abc\neq0$, то кривая Фрея как эллиптическая кривая существует для $n=2$.
Тогда, следуя намеченному пути, надо в начале понять какова структура группы Морделла-Вейл сложения точек кривой Фрея, если $n=2$. Я указал, что в этом случае группа кручения кривой Фрея содержит группу $\mathbb{Z}2\times \mathbb{Z}4$. Как гипотезу высказал, что ранг этой кривой равен нулю. Если эта гипотеза верна, то для $n=2$ кривая Фрея с причудами, ибо проходит через конечное число рациональных точек.

Я думал, что специалисты по эллиптическим кривым, присутствующие на форуме, знают, что ранг кривой Фрея для $n=2$ равен нулю и укажут где об этом прочитать. Однако никто пока не откликнулся, поэтому пытаюсь сам это доказать. Может доказав это, можно понять как док-ть, что ранг кривой Фрея для $n>2$ также равен нулю.

[Yarkin]

grisania в сообщении #1079416 писал(а):

Моё сообщение не является попыткой доказать ВТФ, а есть желание понять что такое кривая Фрея, рассматривая путь док-ва, предложенный мной.

Тогда надо в дискуссионку.

[grisania]

Yarkin в сообщении #1079560 писал(а):

Тогда надо в дискуссионку.

На этой ветке практически не обсуждаются кривые Фрея, однако западные ферматики пытаются дать более простые док-ва несуществования кривых Фрея для $n>2$. Одно такое док-во обсуждалось на форуме Jailton C.Ferreira. A proof of the non existence of Frey ...http://dxdy.ru/topic68822.html.

[scwec]

grisania в сообщении #1075825 писал(а):

Гипотеза. Кривая $E_2(Q)$ имеет нулевой ранг

Эта гипотеза неверна.
Например, для тройки $(20,21,29)$ кривая $y^2=x(x-20^2)(x+21^2)$ имеет ранг 1.
То же для тройки $(48,55,73)$ и т.д.
Троек, дающих ненулевой ранг бесконечно много.
Но есть тройки, например, $(8,15,17),(12,5,13)$ и т.д., для которых ранг нулевой. Их тоже бесконечно много.