Зависимость n-мерного пространства от n+1 мерного

[Ryuk]

Доброго времени суток.
Недавно услышал о том, что плоскость не может существовать отдельно от трехмерного пространства, т.е. не все теоремы плоскости можно доказать на плоскости (они доказываются через трехмерное пространство). В свою очередь, не все теоремы трехмерного пространства можно доказать в нем же, некоторые доказываются в четырехмерном пространстве. О каких конкретно теоремах идет речь, не могу сказать.

Может ли кто нибудь опровергнуть это, дополнить, или подтвердить?
Стало очень интересно.

[Pavlovsky]

Печалька. Эвклид об этом не знал.

[Brukvalub]

Ryuk в сообщении #1079144 писал(а):

Недавно услышал о том

Когда именно услышали? От кого пошел слух? Как тот, кто пустил слушок, обосновывал свои подозрения?

[Ryuk]

Brukvalub
Один мой знакомый.
Он это не подозревал, а утверждал.
Точно не могу сказать, что он приводил в пример (1 теоремка была про плоскость, вторая про трехмерное пространство).
Дабы не спрашивать у него, я решил спросить тут, может кто знает.

[arseniiv]

Ну да, мы-то лучше вашего друга знаем, что у него было в голове.

[Brukvalub]

Не стОит верить слухам. Изучение свойств $n$-мерного пространства не требует привлечения пространств большей размерности.

[Munin]

Есть теоремы, которые легче доказать с привлечением пространства большей размерности. Но это не значит, что нельзя доказать без.

[Ryuk]

Brukvalub
Хорошо, я узнаю у него.

[Someone]

Ryuk в сообщении #1079144 писал(а):

Недавно услышал о том, что плоскость не может существовать отдельно от трехмерного пространства

Это бред.

Ryuk в сообщении #1079144 писал(а):

т.е. не все теоремы плоскости можно доказать на плоскости (они доказываются через трехмерное пространство).

Ну, предположим, что действительно не все. Почему это вдруг помешает плоскости существовать?

Между прочим, если взять аксиомы Гильберта для плоскости без аксиом конгруентности, то теорему Дезарга доказать будет нельзя. А если привлечь ещё аксиомы, относящиеся к пространству, то теорема Дезарга доказывается.
Подробности можно посмотреть в книге Гильберта "Основания геометрии".

[AliceLovelace]

Munin в сообщении #1079172 писал(а):

Есть теоремы, которые легче доказать с привлечением пространства большей размерности. Но это не значит, что нельзя доказать без.

Можно пример теоремы?

Например, как в одномерном пространстве решить дифф.ур. гармонического осциллятора, не прибегая к комплексным ч., тригонометрическим ф-ям (либо явно указав, как вы выводите триг.ф. без двух переменных / двух измерений, и под каким предлогом вы их приклеиваете сюда).

[Munin]

Someone
Возможно, это то, о чём шла речь, а возможно, и нет. Дело в том, что чтобы теорема Дезарга была несправедлива, плоскость должна быть недезарговой проективной плоскостью, а это довольно экзотическая конструкция. Обычная школьная евклидова плоскость - дезаргова. То есть, для неё всего лишь "слегка дефектна" аксиоматика Гильберта, её надо пополнить теоремой Дезарга как аксиомой.

[Brukvalub]

AliceLovelace в сообщении #1079477 писал(а):

как в одномерном пространстве решить дифф.ур. гармонического осциллятора, не прибегая к комплексным ч., тригонометрическим ф-ям

Разве решение "дифф.ур. гармонического осциллятора" как-то связано с изучением свойств прямой?

[Munin]

AliceLovelace
Для любого дифура сначала можно взять решение с потолка ("подбором"), а потом использовать свойство существования и единственности.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1079480 писал(а):

Для любого дифура сначала можно взять решение с потолка ("подбором")

Иногда на это может не хватить всей жизни...

[Munin]

Я говорил про заданный вопрос. Для гармонического осциллятора-то решение можно просто достать из широких штанин.