2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 17:19 
Аватара пользователя
Интеграл несложный, но я не вижу идеи.
$$\int\limits{\frac{xdx}{x^2+x+1}}$$
Вносил $x$ по знак дифференциала, делай разные замены типа $x^2+x+1=t, dt=(2x+1)dx$, но ничем хорошим это не заканчивалось.
Не прошу решения, прошу идеи.

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 17:29 
Как интегрировать рациональные функции

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 17:32 
Аватара пользователя
Вопрос: а вот такой интеграл $$\int\limits{\frac{dx}{x^2+x+1}}$$ вы взять сможете?

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 17:35 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1079051 писал(а):
Вопрос: а вот такой интеграл $$\int\limits{\frac{dx}{x^2+x+1}}$$ вы взять сможете?

Нет. У меня получилось свести вычисление исходного интеграла к вычислению Вашего, но и его я вычислить не смог.

-- 03.12.2015, 17:37 --

12d3 в сообщении #1079049 писал(а):

Спасибо, прочту!

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 17:47 
Аватара пользователя
iou в сообщении #1079053 писал(а):
У меня получилось свести вычисление исходного интеграла к вычислению Вашего, но и его я вычислить не смог.

Тогда идите учить "зады".

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 17:54 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1079057 писал(а):
iou в сообщении #1079053 писал(а):
У меня получилось свести вычисление исходного интеграла к вычислению Вашего, но и его я вычислить не смог.

Тогда идите учить "зады".

Вероятно, он решается так: $x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})$, тогда исходный интеграл равен $$\int\limits \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$$
А дальше вспоминаем табличный интеграл.

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 18:01 
Аватара пользователя
Верно.

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 18:04 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1079067 писал(а):
Верно.

Я нашёл ошибку в своих рассуждениях (где я свёл вычисление исходного интеграла к вычислению Вашего). Как избавиться от $x$ в числителе?

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 18:09 
Аватара пользователя
Занесите под дифференциал.

iou в сообщении #1079047 писал(а):
Вносил $x$ по знак дифференциала,
Сам себе говорю: разуй глаза, [сенсоред]!!

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 18:14 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #1079073 писал(а):
Занесите под дифференциал.

Но под знаком дифференциала ведь выражение, квадрат которого присутствует в знаменателе, чтобы потом подогнать это всё под известный интеграл.

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 18:19 
Аватара пользователя
Ох. Тогда на простейшие.

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 18:20 
Аватара пользователя
Превратите числитель в сумму функции, пропорциональной производной от знаменателя и константы.

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 18:37 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1079081 писал(а):
Превратите числитель в сумму функции, пропорциональной производной от знаменателя и константы.

Производная знаменателя $g(x)=2x+1$
Тогда $x=kg(x)+C$, где $kg(x)=x+\frac{1}{2}$, $C=-\frac{1}{2}$
$$\int\limits \frac{(x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2})d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$$
Разбиваем на сумму интегралов $$\int\limits \frac{(x+\frac{1}{2})d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}-\frac{1}{2}\int\limits \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$$
Второй интеграл я знаю, первый -- нет. Или я неверно представил числитель?

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 19:14 
Аватара пользователя
Сделайте из дроби логарифмическую производную. Без всяких замен.

 
 
 
 Re: Помогите взять интеграл
Сообщение03.12.2015, 19:51 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1079107 писал(а):
Сделайте из дроби логарифмическую производную. Без всяких замен.

$$\int\limits{\frac{xdx}{x^2+x+1}}$$
Если $f(x)=\frac{x}{x^2+x+1}$, то $\ln{f(x)}=\ln{x}-\ln{(x^2+x+1)}$
Получится разность интеграл, но при интегрировании по частям возникает трудность..
$$\int\limits{\frac{(2x^2+x)dx}{x^2+x+1}}$$
Получается такая штука. Что с ней сделать?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group