Помогите взять интеграл

[iou]

Интеграл несложный, но я не вижу идеи.

$$\int\limits{\frac{xdx}{x^2+x+1}}$$

Вносил $x$ по знак дифференциала, делай разные замены типа $x^2+x+1=t, dt=(2x+1)dx$, но ничем хорошим это не заканчивалось.
Не прошу решения, прошу идеи.

[12d3]

Как интегрировать рациональные функции

[Brukvalub]

Вопрос: а вот такой интеграл

$$\int\limits{\frac{dx}{x^2+x+1}}$$

вы взять сможете?

[iou]

Brukvalub в сообщении #1079051 писал(а):

Вопрос: а вот такой интеграл

$$\int\limits{\frac{dx}{x^2+x+1}}$$

вы взять сможете?

Нет. У меня получилось свести вычисление исходного интеграла к вычислению Вашего, но и его я вычислить не смог.

-- 03.12.2015, 17:37 --

12d3 в сообщении #1079049 писал(а):

Как интегрировать рациональные функции

Спасибо, прочту!

[Brukvalub]

iou в сообщении #1079053 писал(а):

У меня получилось свести вычисление исходного интеграла к вычислению Вашего, но и его я вычислить не смог.

Тогда идите учить "зады".

[iou]

Brukvalub в сообщении #1079057 писал(а):

iou в сообщении #1079053 писал(а):

У меня получилось свести вычисление исходного интеграла к вычислению Вашего, но и его я вычислить не смог.

Тогда идите учить "зады".

Вероятно, он решается так: $x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})$, тогда исходный интеграл равен

$$\int\limits \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$$

А дальше вспоминаем табличный интеграл.

[Brukvalub]

Верно.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1079067 писал(а):

Верно.

Я нашёл ошибку в своих рассуждениях (где я свёл вычисление исходного интеграла к вычислению Вашего). Как избавиться от $x$ в числителе?

[Dan B-Yallay]

Занесите под дифференциал.

iou в сообщении #1079047 писал(а):

Вносил $x$ по знак дифференциала,

Сам себе говорю: разуй глаза, [сенсоред]!!

[iou]

Dan B-Yallay в сообщении #1079073 писал(а):

Занесите под дифференциал.

Но под знаком дифференциала ведь выражение, квадрат которого присутствует в знаменателе, чтобы потом подогнать это всё под известный интеграл.

[Dan B-Yallay]

Ох. Тогда на простейшие.

[Brukvalub]

Превратите числитель в сумму функции, пропорциональной производной от знаменателя и константы.

[iou]

Brukvalub в сообщении #1079081 писал(а):

Превратите числитель в сумму функции, пропорциональной производной от знаменателя и константы.

Производная знаменателя $g(x)=2x+1$
Тогда $x=kg(x)+C$, где $kg(x)=x+\frac{1}{2}$, $C=-\frac{1}{2}$

$$\int\limits \frac{(x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2})d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$$

Разбиваем на сумму интегралов

$$\int\limits \frac{(x+\frac{1}{2})d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}-\frac{1}{2}\int\limits \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$$

Второй интеграл я знаю, первый -- нет. Или я неверно представил числитель?

[demolishka]

Сделайте из дроби логарифмическую производную. Без всяких замен.

[iou]

demolishka в сообщении #1079107 писал(а):

Сделайте из дроби логарифмическую производную. Без всяких замен.

$$\int\limits{\frac{xdx}{x^2+x+1}}$$

Если $f(x)=\frac{x}{x^2+x+1}$, то $\ln{f(x)}=\ln{x}-\ln{(x^2+x+1)}$
Получится разность интеграл, но при интегрировании по частям возникает трудность..

$$\int\limits{\frac{(2x^2+x)dx}{x^2+x+1}}$$

Получается такая штука. Что с ней сделать?