Задача на ассоциативность умножения

[timber]

Наверное не могу понять чего-то самого простого или очень глубокого.

На вид дана простая задача для школьников:

Равенства
$(2 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 5) = ((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5 $
можно объяснить с помощью закона ассоциативности $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$. Например, первое из двух равенств получается при $a = 2 \cdot 3, b = 4, c = 5$. Какие надо взять $a, b, c $, чтобы объяснить второе равенство?

С первым равенством все наглядно и понятно, но второе $((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5 $ вводит в ступор!

Допустим, что отдельное число за скобкой $c = 5$. Тогда $a, b$ содержатся в $((2 \cdot 3) \cdot 4) = (2 \cdot (3 \cdot 4))$. Но здесь видно, что $a \ne (2 \cdot 3), b \ne (3 \cdot 4)$, что еще тогда остается не понятно. Получается, что 2 неизвестных претендуют на 3 числа. Как ни крути не выходит. Может не так кручу!

[Munin]

timber в сообщении #1078922 писал(а):

С первым равенством все наглядно и понятно, но второе $((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5 $ вводит в ступор!

Посмотрите, что в левой и в правой части равенства одинаково.

[Xaositect]

Просто кроме ассоциативности умножения здесь еще используется тот факт, что подстановка равных объектов в выражение дает равные результаты, конкретнее, что если $a = b$, то $ac = bc$.

[timber]

Вот оно что!

Получается:
$a = b = (2 \cdot 3 \cdot 4), c = 5$.

Или не так?

-- 03.12.2015, 00:09 --

Если так, то хитрая задачка!

Вот интересно. Нужно особое логическое мышление, чтобы осознать или увидеть в данной задаче "тот факт, что подстановка равных объектов в выражение дает равные результаты"? Или все-таки нужно просто обладать знанием? Ведь в задаче это далеко не очевидно или мне так одному кажется!

[timber]

И еще.

Зачем вообще необходимо свойство ассоциативности, для чего нужна расстановка скобок, если результат будет одним и тем же? Зачем все эти, порой кажущиеся абсурдными, манипуляции со скобочками? Какой скрытый смысл в ассоциативности, в чем польза?

[Xaositect]

timber в сообщении #1078928 писал(а):

Вот интересно. Нужно особое логическое мышление, чтобы осознать или увидеть в данной задаче "тот факт, что подстановка равных объектов в выражение дает равные результаты"? Или все-таки нужно просто обладать знанием? Ведь в задаче это далеко не очевидно или мне так одному кажется!

Это интересный вопрос. С одной стороны, достаточно обладать знанием - если мы знаем некоторый список таких принципов типа подстановки равных элементов и ассоциативности, то мы всегда можем для заданного нам утверждения посмотреть, какие из этих принципов применимы и проверить, есть ли цепочка, которая позволит это равенство вывести. С другой стороны, на самом деле человек этого, по всей видимости, не делает. В процессе обучения вырабатывается интуиция, в каких ситуациях какой принцип применять. Иногда эта интуиция не срабатывает, и приходится пользоваться перебором, но опять же, перебираются не все варианты, а каким-то образом выделяются более выгодные.

-- Чт дек 03, 2015 00:07:43 --

timber в сообщении #1078933 писал(а):

Зачем вообще необходимо свойство ассоциативности, для чего нужна расстановка скобок, если результат будет одним и тем же? Какой смысл в ассоциативности, в чем польза?

Так в этом и польза - в том, что результат будет одним и тем же. Этим можно иногда пользоваться при вычислениях, например.
Если мы рассматриваем не числа, а какие-нибудь другие объекты, то ассоциативности может и не быть.

[timber]

Xaositect в сообщении #1078934 писал(а):

Так в этом и польза - в том, что результат будет одним и тем же. Этим можно иногда пользоваться при вычислениях, например.
Если мы рассматриваем не числа, а какие-нибудь другие объекты, то ассоциативности может и не быть.

Ну ведь в школе под объектами понимаются какие-то неизвестные числа, а не любые абстрактные объекты. Или я ошибаюсь?

Мой вопрос о самой идее скобок и их расстановке. Как возникла эта идея, по какой причине и с какой целью?

Ну например, у нас есть молоток и гвозди. Этого набора вполне достаточно для процесса забивания гвоздей. Но тут нам приходит идея добавить еще резиновую прокладку, через которую (стуча по которой) мы будет забивать гвозди. Понятно, что процесс забивания тогда будет скорее всего менее шумным, так как резинка будет амортизировать удары молотка о гвоздь. Но зачем так все усложнять, если цель (конечный результат) в первом и во втором случае будет один и тот же - это забитый гвоздь!

[arseniiv]

timber в сообщении #1078938 писал(а):

Мой вопрос о самой идее скобок и их расстановке. Как возникла эта идея, по какой причине и с какой целью?

Идея ассоциативности операции? Если эта, то она возникла как обобщение свойств известных операций. Сначала это были только сложение и умножение разных подмножеств вещественных чисел, потом добавились комплексные, матрицы, кватернионы, векторы… и тут уже вышло ого-го: первая «умножениеподобная», но не ассоциативная операция. Точнее, даже две: скалярное и векторное произведение. Первая вообще не может быть ассоциативной, т. к. результат её уже не вектор. До этого ожидания от «умножений» уже могли уменьшиться: умножение матриц оказалось некоммутативным. Где-то с этих времён можно ожидать внимание к свойствам операций вообще, а не конкретным, и появление понятий ассоциативности, коммутативности и т. д.. Ко времени появления теории групп это уже должно быть введено в рассмотрение. (Интересно, угадал я ход истории или нет?)

-- Чт дек 03, 2015 04:46:40 --

timber в сообщении #1078938 писал(а):

Но зачем так все усложнять

А если дело вообще в скобках, то не забудьте, что выражения могут содержать разные и не обязательно ассоциативные операции. Тут уже без указания того, что к чему применять, не обойтись. Когда людям стало известно умножение, им стало также очевидно, что в общем случае $(a+b)\cdot c\ne a+(b\cdot c)$, хотя такой записи при появлении умножения ни у кого в то же время ещё и не было. Когда запись современного типа появилась, пришлось ввести и скобки.

[VAL]

timber в сообщении #1078938 писал(а):

Ну ведь в школе под объектами понимаются какие-то неизвестные числа, а не любые абстрактные объекты. Или я ошибаюсь?

Во-первых, школой математика не заканчивается.
А во-вторых, и в школе изучают не только операции сложения и умножения. А еще, к примеру, вычитания или возведения в степень.

[timber]

arseniiv в сообщении #1078941 писал(а):

А если дело вообще в скобках, то не забудьте, что выражения могут содержать разные и не обязательно ассоциативные операции. Тут уже без указания того, что к чему применять, не обойтись. Когда людям стало известно умножение, им стало также очевидно, что в общем случае $(a+b)\cdot c\ne a+(b\cdot c)$, хотя такой записи при появлении умножения ни у кого в то же время ещё и не было. Когда запись современного типа появилась, пришлось ввести и скобки.

VAL в сообщении #1078958 писал(а):

Во-первых, школой математика не заканчивается.
А во-вторых, и в школе изучают не только операции сложения и умножения. А еще, к примеру, вычитания или возведения в степень.

Нет. Дело не в скобках и не в разных операциях.

Речь идет конкретно об ассоциативности умножения, ну еще можно взять ассоциативность сложения. В чем здесь смысл скобок, если как ни крути эти скобки, то результат будет один и тот же?

В вашем примере $(a+b)\cdot c\ne a+(b\cdot c)$ -- результат конечно зависит от расстановки скобок, но вот в выражении $a \cdot b \cdot c$ или $a + b + c$ результат всегда один.

[VAL]

timber в сообщении #1078975 писал(а):

VAL в сообщении #1078958 писал(а):

Во-первых, школой математика не заканчивается.
А во-вторых, и в школе изучают не только операции сложения и умножения. А еще, к примеру, вычитания или возведения в степень.

Нет. Дело не в скобках и не в разных операциях.

Речь идет конкретно об ассоциативности умножения, ну еще можно взять ассоциативность сложения. В чем здесь смысл скобок, если как ни крути эти скобки, то результат будет один и тот же?

Так мы будем ходить по кругу.
Повторяю, Вам уже указали, что умножение не всегда ассоциативно. И что после школы многие выпускники продолжают изучение математики (остальные, разумеется, убеждены, что ассоциативность и теорема Пифагора абсолютно бесполезная нудятина, на которую их напрасно заставляли тратить их драгоценное время).

Добавлю, что скобки, указывающие на порядок действий могут быть полезны и в том, случае, когда этот порядок не влияет на результат.
Например, как вы будете перемножать дроби $\frac{143}{51}$ и $\frac{68}{77}$?

[timber]

VAL в сообщении #1078981 писал(а):

Повторяю, Вам уже указали, что умножение не всегда ассоциативно.

Интересно. Покажите, пожалуйста, пример, когда $a \cdot (b \cdot c) \ne (a \cdot b) \cdot c.

[ИСН]

Элементарно: пусть это векторы и скалярное произведение.

(Оффтоп)

Точнее, наши объекты - векторы и числа, умножение чисел на числа определено как обычно, векторов на числа - тоже как обычно, векторов на векторы - как скалярное произведение.

[VAL]

timber в сообщении #1078982 писал(а):

VAL в сообщении #1078981 писал(а):

Повторяю, Вам уже указали, что умножение не всегда ассоциативно.

Интересно. Покажите, пожалуйста, пример, когда $a \cdot (b \cdot c) \ne (a \cdot b) \cdot c.

Да сколько угодно!
Октавы Кэли, лупы Муфанг, квазигруппы Штейнера, как, впрочем, и другие квазигруппы и лупы...
Про скалярное произведение вам уже написали. Там сама постановка вопроса об ассоциативности бессмысленна.

-- 03 дек 2015, 12:21 --

ИСН в сообщении #1078985 писал(а):

Элементарно: пусть это векторы и скалярное произведение.

(Оффтоп)

Точнее, наши объекты - векторы и числа, умножение чисел на числа определено как обычно, векторов на числа - тоже как обычно, векторов на векторы - как скалярное произведение.

(Оффтоп)

А вот с "точнее" я не понял. В этих случаях аналог ассоциативности вполне себе имеет место.

[VanD]

timber в сообщении #1078975 писал(а):

В чем здесь смысл скобок, если как ни крути эти скобки, то результат будет один и тот же?

Смысл скобок в том, что операция не знает, как обработать 3 числа на входе. Она знает, что делать с двумя, но запись $a \cdot b \cdot c$ - для неё загадка. Что это значит, ведь у операции должно быть 2 аргумента? Эту запись можно трактовать двумя способами: сначала на вход операция получает $a, b$ а потом на вход получает предыдущий результат и $c$, но есть вариант, когда сначала $b, c$ а потом $a$ и предыдущий результат. Ассоциотивность по сути - требование отсутствия путаницы, с ней можно не ставить скобок в записи $a \cdot b \cdot c$ - результат будет один, как ни понимай. Без неё эта запись трактуется двояко.

Ну а скобки тут формально указывают на то, какой из двух описанных вариантов имелся в виду (кого сначала, кого потом).