Связное "многообразие" без счётной базы

[Mikhail_K]

Многообразием размерности $n$ называется хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную $\mathbb{R}^n$ (одно из возможных определений).

Меня интересуют примеры пространств, удовлетворяющих всем условиям из этого определения, кроме условия счётности базы.

Классический пример - произведение отрезка $[a,b]\mathbb{R}$ на такой же отрезок, но с дискретной топологией. Получается квадрат, снабжённый топологией без счётной базы и удовлетворяющей всем остальным условиям из определения многообразия. Кстати, "многообразие" получается размерности $1$, хоть и квадрат.

Но такое пространство не будет связным. Меня же интересуют связные примеры.
То есть, хотелось бы иметь примеры связных хаусдорфовых топологических пространств без счётной базы, каждая точка которых имеет окрестность, гомеоморфную $\mathbb{R}^n$

[Narn]

Классический пример (и единственный, который я знаю) --- длинная полупрямая Александрова (https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_%28topology%29)

[Mikhail_K]

Да, хороший пример.

[VanD]

Рассмотрим квадрат $(0; 1)^2$. Возьмём на нём следующую базу топологии:
база состоит из всевозможных интервалов, лежащих на какой-нибудь прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей квадрата. В любую базу придётся включать открытые подмножества, лежащие на каждой такой прямой, так что она несчётна.
Отсутствие связности вроде понятно: если можно представить в виде объединения непересекающихся непустых открытых, то можно найти такую прямую, которая не лежит целиком в каком-то одном из них и т.д.

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1078694 писал(а):

Меня же интересуют связные примеры.

VanD в сообщении #1078725 писал(а):

Отсутствие связности вроде понятно

[VanD]

Brukvalub в сообщении #1078728 писал(а):

VanD в сообщении #1078725

писал(а):
Отсутствие связности вроде понятно

ОписАлся просто). Отсутствие отсутствия связности понятно)
Короче, понятно, что связно оно.

[Mikhail_K]

VanD в сообщении #1078725 писал(а):

Рассмотрим квадрат $(0; 1)^2$. Возьмём на нём следующую базу топологии:
база состоит из всевозможных интервалов, лежащих на какой-нибудь прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей квадрата.

Не годится.
Во-первых, такой базы не существует, она не удовлетворяет критерию базы. Возьмём два интервала на разных таких прямых, пересекающиеся в точке пересечения диагоналей. Вот.
Во-вторых, будем считать что Вы имели в виду предбазу. Возьмём множество, состоящее из одной точки - точки пересечения диагоналей квадрата. Оно будет открытое (как пересечение двух элементов предбазы) и замкнутое. Значит, наше пространство несвязное.
В-третьих, оно не будет многообразием вообще ни в каком смысле. Эта самая точка пересечения диагоналей квадрата не имеет окрестностей, гомеоморфных $\mathbb{R}$. Конечно, можно взять в качестве её окрестности любой интервал на любой из этих прямых, содержащий эту точку, но гомеоморфизма с обычным интервалом в $\mathbb{R}$ не будет.

[g______d]

Ещё: https://en.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%BCfer_manifold

[VanD]

Mikhail_K в сообщении #1078750 писал(а):

Не годится.

Да, про точку пересечения-то я и забыл там где не надо