2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 12:59 
Здравствуйте. Читаю Зорича. В параграфе 4 "Счётные и несчётные множества", есть доказательство счётности множества упорядоченных пар натуральных чисел.
Непонятен следующий момент: "Но отображение $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, задаваемое формулой $(m, n)\to\frac{(m+n)(m+n+1)}{2}+m$, как легко проверить, биективно".
Почему оно биективно? Сюръекция не соблюдается. Спасибо!

 
 
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:05 
Аватара пользователя
Где именно не соблюдается сюрьекция? Какой элемент $\mathbb{N}$ не имеет прообраза?

 
 
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:08 
Xaositect
Например 1.

 
 
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:14 
Аватара пользователя
Да, действительно. Эта формула работает, если считать натуральные числа с нуля. Если с единицы, то правильная формула $\dfrac{(m + n - 2)(m + n - 1)}{2} + m$.

 
 
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:15 
Аватара пользователя
Guliashik в сообщении #1078261 писал(а):
Почему оно биективно? Сюръекция не соблюдается. Спасибо!
Видимо, у Зорича натуральный ряд начинается с нуля.

 
 
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:17 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #1078267 писал(а):
Видимо, у Зорича натуральный ряд начинается с нуля.
Нет, я специально проверил.

 
 
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 13:19 
Скорее всего это и правда опечатка. Цитирую автора: "С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее натуральные числа начинать с 0, т.е. вводить множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее 0, однако нам удобнее начинать нумерацию числом 1".

 
 
 
 Re: Множество упорядоченных пар натуральных чисел счётно
Сообщение30.11.2015, 14:09 
Аватара пользователя
Тогда да, опечатка. Но, может быть, конфликт двух версий. (У меня учебника Зорича нет.)

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group