Как взять этот интеграл аналитически ?

[oliva]

Подскажите, пожалуйста, у кого свежее в памяти интегрирование. Мне тут нужно получить аналитическое выражение для следующего интеграла. А я туплю
$U={\frac1_2\pi/w}\int_{0}^{2\pi/w} \ln (1+k\cos (wx))dx$
Если k<1

[maxal]

Во-первых, в формулах вместо ln надо писать \ln, вместо cos надо писать \cos (и не забыть оставить пробел после них - например, \cos x) - исправьте.

Во-вторых, интеграл легко посчитать, если разложить $\ln(1+t)$ в ряд и затем уже проинтегрировать.

[oliva]

Но если разложить в ряд - получим приближенное значение, а нужно точное.

Добавлено спустя 18 минут 19 секунд:

Собственно решение уже есть.
\ln ({\frac1_{2}} (1+\sqrt {1-k^2}))

Нужно только убедиться, что оно верное.

[Gafield]

Можно записать так :

$$ U=\frac1{2\pi}\int_{|z|=1}z^{-1}\ln(1+k(z+z^{-1})/2)\,dz. $$

Далее ТФКП.

[Brukvalub]

Еще можно попробовать продифференцировать по параметру.

[oliva]

Если не трудно, по-поводу ТФКП можно по-подробнее ?

[oliva]

Ну хоть ответ сам правильный или нет?

[GAA]

Если, конечно, считать, что |k| < 1, то ответ правильный. Как указано выше, ответ легко получить дифференцированием исходного интеграла по параметру.

[Бодигрим]

Цитата:

Но если разложить в ряд - получим приближенное значение, а нужно точное.

Нет, конечно же точное. Если не выходить за круг сходимости.

[oliva]

GAA писал(а):

Если, конечно, считать, что |k| < 1, то ответ правильный. Как указано выше, ответ легко получить дифференцированием исходного интеграла по параметру.

Имеется ввиду правило Лейбница ?

[Brukvalub]

Да.

[oliva]

$dU={\frac1_2\pi/w}\int_{0}^{2\pi/w} \cos (wx)/ (1+k\cos (wx))dx$

И чем такой интеграл лучше предидущего ?

[Brukvalub]

Он лучше тем, что берётся.

[oliva]

Как ?

[Brukvalub]

Да как угодно. Например, универсальной триг подстановкой. Это задача для первокурсника "на троечку".