доказать неравенства

[kel]

подкиньте идею как доказать следующие неравенства:
1)

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}, n\geq 2$$

2)

$$ 1+\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots +\frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}, n\geq 2$$

3)

$$ \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \ldots +\frac{1}{n(n+1)}<1, n\geq 2$$

4)

$$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots + \frac{1}{n^2}<1, n\geq 2$$

5)

$$ 1\cdot 3\cdot 5 \ldots (2n-1)<n^n$$

6)

$$\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{b^2+d^2}\geq \sqrt{(a+b)^2+(c+d)^2}$$

[RIP]

В 1-2) замените каждое слагаемое в сумме на наименьшее.
В 3) сумма считается; для этого надо воспользоваться тождеством $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$.
4) следует из 3).
В 5) докажите, что квадрат левой части меньше квадрата правой (надо грамотно сгруппировать сомножители; вспомните, как вычисляется сумма арифметической прогрессии).
6) - это просто неравенство треугольника.

[kel]

Спасибо за подсказки
я не совсем понимаю, в 5) что групировать?

[RIP]

В 5) воспользуйтесь тем, что при $k\ne n$ выполняется $k(2n-k)<n^2$.