Характеристическая функция произведения

[toreto]

NSKuber в сообщении #1077909 писал(а):

toreto
На повторные - можно. Только вы ещё повторные каким-то образом превратили в произведение однократных.

Спасибо, понятно. Но я просто другого выхода не вижу. Я думал, что сначала можно внутренний интеграл вычислить по одной переменной, считая другую константой, а потом внешний (просто так вышло, что та переменная вторая не сыграла никакой роли во внутреннем интеграле!). Может подскажете -- как тут правильно с повторными интегралами разбираться?!

-- 29.11.2015, 18:14 --

Можно ли так записать тогда?

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx\right)\;dy.$

Но ведь от этого результат, вроде как, не должен измениться! (ну а то, что форма записи кривая, я вроде как понял)

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx=\sqrt{\pi}$

[Otta]

toreto в сообщении #1077954 писал(а):

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx=\sqrt{\pi}$

Да когда же Вы Выучите, чему равен этот интеграл. Вторую тему Вы его мучаете.

[toreto]

Ну так я бы выучил, если бы понял, но понять не получается

[toreto]

Простите, что тупил с этим интегралом. Исправляюсь!

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx\right)\;dy.$

Но ведь от этого результат, вроде как, не должен измениться! (ну а то, что форма записи кривая, я вроде как понял)

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx=\sqrt{2\pi}$

$\varphi (t)=\sqrt{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}\;dy.$=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{t^2+1}}

Будет ли так верно-таки?

[Otta]

Ну а Вы как думаете?

[toreto]

Otta в сообщении #1078144 писал(а):

Ну а Вы как думаете?

Думаю, что правильно, да и вольфрам подтверждает http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 2Binfinity

[Otta]

А что Вам говорят Ваши навыки решения задач типа "является ли оно х.ф."?

[toreto]

Otta в сообщении #1078146 писал(а):

А что Вам говорят Ваши навыки решения задач типа "является ли оно х.ф."?

Ну оказалось, что $\varphi(0)=\sqrt{2\pi}\ne 1$, потому не может быть характеристической функцией...

-- 30.11.2015, 00:28 --

Я там константу потерял, должно быть так $\varphi (t)=\sqrt{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}\;dy.$=\dfrac{\sqrt{2}\pi}{\sqrt{t^2+1}}

-- 30.11.2015, 00:29 --

Тогда что $\varphi(0)=\sqrt{2}\pi\ne 1$, потому не может быть характеристической функцией...

[Otta]

toreto в сообщении #1077847 писал(а):

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2+y^2+y^2t^2}{2}\right)\,dxdy.$

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}dy\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx.$

При этом переходе одна ошибка. В плотности нормального распределения другая.

[toreto]

Спасибо, исправляюсь!

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2+y^2+y^2t^2}{2}\right)\,dxdy.$

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left[\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)dx\Biggl]\,\exp\left(-\frac{(1+t^2)y^2}{2}\right)dy=$

$=\sqrt{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(1+t^2)y^2}{2}\right)dy=\dfrac{2\pi}{\sqrt{1+t^2}}$

$\varphi(0)=\sqrt{2\pi}\ne 1$

Что-то опять не сходится, как-то мне не везет(

[Otta]

Otta в сообщении #1078149 писал(а):

. В плотности нормального распределения другая.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

toreto в сообщении #1078157 писал(а):

Что-то опять не сходится, как-то мне не везет

[toreto]

Плотность нормального распределения:

$ f(x) =\displaystyle \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },$

$\varphi (t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2+y^2+y^2t^2}{2}\right)\,dxdy.$

$\varphi (t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left[\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)dx\Biggl]\,\exp\left(-\frac{(1+t^2)y^2}{2}\right)dy=$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sqrt{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(1+t^2)y^2}{2}\right)dy=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{1+t^2}}$

$\varphi(0)=\sqrt{2\pi}\ne 1$

ох, опять не фортануло(

[Otta]

Ну вот пока Вы самый первый интеграл верно не напишете, ничего не выйдет, обещаю.

[toreto]

$\varphi (t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-ixyt-\dfrac{x^2y^2}{2}\right)\,dxdy.$

Не уж-то так?