2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 предел последовательности интегралов
Сообщение20.03.2008, 20:30 
Аватара пользователя
Просто надо вычислить
$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\int_{1}^{n}\ln(1+\frac{1}{\sqrt{x}}) dx$$ :D

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 20:44 
Аватара пользователя
Превратите n в х и позовите Лопиталя, он все вычислит.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 20:48 
Brukvalub писал(а):
Превратите n в х и позовите Лопиталя, он все вычислит.


Только, на всякий случай, не в $x$, а в $y$ какой-нибудь. $x$ занят.

P.S. А что эта и соседняя темы делают в этом разделе? :shock:

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 20:55 
Аватара пользователя
тут n натуральное,а x целое

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 21:07 
Аватара пользователя
Alexiii писал(а):
тут n натуральное,а x целое
Сразу видно, товарищ веселить умеет!

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 21:09 
Alexiii писал(а):
тут n натуральное,а x целое
Вы имели в виду x действительное? Ну, в общем, предложение Brukvalubа в том и заключается, чтобы объявить$n$ действительным, и по нему подифференцировать. Если по действительным предел будет существовать, то и по целым будет такой же.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 22:00 
Аватара пользователя
была описка,я разумел,что x вещественное,простите
без Лопиталя никак нельзя?

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 22:18 
Alexiii писал(а):
без Лопиталя никак нельзя?
Можно. Вычислив интеграл $$\int_1^n \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx$$ (указание: по частям).

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 22:42 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Превратите n в х...

Крибле-крабле-бумс: $\ln \mapsto {\rm lx}$.

 
 
 
 
Сообщение20.03.2008, 22:44 
Аватара пользователя
Бодигрим писал(а):
Brukvalub писал(а):
Превратите n в х...

Крибле-крабле-бумс: $\ln \mapsto {\rm lx}$
Улыбнуло! Хорошо шутящий человек - наш человек! :D

 
 
 
 
Сообщение21.03.2008, 10:13 
Аватара пользователя
Раз уж задача решена, позволю себе добавку.
Можно обойтись без интегрирования логарифма, заметив, что предел интеграла по любому фиксированному отрезку равен нулю, а подынтегральное выражение эквивлентно $1/\sqrt{x}$ при $x\to\infty$. Ответ находится практически устно. Строго это будет выглядеть так:
$$
I_n:=\frac1{\sqrt{n}}\int\limits_1^n\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)dx
$$
Ясно, что для любого $\varepsilon>0$ $\exists C_\varepsilon$
$$
\frac{1-\varepsilon}{\sqrt{x}}\leqslant\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)\leqslant
\frac{1+\varepsilon}{\sqrt{x}},\quad x>C_\varepsilon
$$
Тогда
$$
I_n=\frac1{\sqrt{n}}\int\limits_1^{C_\varepsilon}\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)dx+
\frac1{\sqrt{n}}\int\limits_{C_\varepsilon}^n\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)dx
$$
Первое слагаемое стремится к нулю, а второе оценивается:
$$
2(1-\varepsilon)\frac{\sqrt{n}-\sqrt{C_\varepsilon}}{\sqrt{n}}\leqslant
\frac1{\sqrt{n}}\int\limits_{C_\varepsilon}^n\ln\left(1+\frac1\sqrt{x}\right)dx
\leqslant 2(1+\varepsilon)\frac{\sqrt{n}-\sqrt{C_\varepsilon}}{\sqrt{n}}
$$

 
 
 
 
Сообщение24.03.2008, 17:57 
Аватара пользователя
Так ответ требуется точный!

 
 
 
 
Сообщение24.03.2008, 20:48 
Аватара пользователя
Alexiii писал(а):
Так ответ требуется точный!

Henrylee доказал, что предел равен 2. Куда уж точнее?

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group