Характеристическая функция произведения

[toreto]

Пусть $X$ и $Y$ - независимые стандартные нормальные случайные величины. Найдите характерстическую функцию случайной величины $XY$.

Знаю такое свойство: Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Может прологарифмировать? $\ln (XY)=\ln X+\ln Y$

-- 28.11.2015, 16:03 --

Или же нужно просто взять интеграл такой?

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xy\exp\left(-\dfrac{x^2+y^2}{2}\right)dxdy$

[toreto]

Так это же получается интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку, потому он равен нулю! Но что это дает, по-моему какая-то ерунда у меня получается)

[Otta]

toreto в сообщении #1077654 писал(а):

Или же нужно просто взять интеграл такой?

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xy\exp\left(-\dfrac{x^2+y^2}{2}\right)dxdy$

Можете взять. Только это не характеристическая функция. Это вообще не функция. Начните с определения х.ф. Вашей с.в. - ну и продолжите.

[toreto]

Спасибо!

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{ixt}\,dx.$


$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(xy)e^{ixyt}\,dxdy.$

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(ixyt-\frac{x^2+y^2}{2}\right)\,dxdy.$

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{x^2-2itxy+y^2-t^2y^2+t^2y^2}{2}\right)\,dxdy.$

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2+y^2+y^2t^2}{2}\right)\,dxdy.$

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}dy\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx.$

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}dy\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx.$

Рассмотрим $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,d(x-ity)=\sqrt{\pi}$

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}dy=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\dfrac{2(t^2+1)y^2}{2}\right)dy=\left[z=\sqrt{2(t^2+1)}y\right]=\dfrac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2(t^2+1)}}$

$\varphi (t)=\sqrt{\pi}\cdot\dfrac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2(t^2+1)}}}=\dfrac{\pi}{\sqrt{2(t^2+1)}}$

Правильно ли?

[Brukvalub]

toreto в сообщении #1077847 писал(а):

$\varphi (t)=\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{\pi}=\pi$

Правильно ли?

Нет, ничего правильного нет... Бросьте вы это все, не можете вы простейших вещей усвоить...

[toreto]

Brukvalub в сообщении #1077851 писал(а):

toreto в сообщении #1077847 писал(а):

$\varphi (t)=\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{\pi}=\pi$

Правильно ли?

Нет, ничего правильного нет... Бросьте вы это все, не можете вы простейших вещей усвоить...

Да, я тут глупость написал, уже подправил, должно быть, правильно!

[Brukvalub]

Вы столько возитесь с хар. функцией... Например, чему равно значение любой хар. функции в 0? Это вы знаете? Можете проверить это свойство для своего "ответа"?

[toreto]

Brukvalub в сообщении #1077856 писал(а):

Вы столько возитесь с хар. функцией... Например, чему равно значение любой хар. функции в 0? Это вы знаете? Можете проверить это свойство для своего "ответа"?

Знаю, в нуле будет $1$

Это даже легко доказывается $\phi_X(0) = \mathbb{E} \left[e^{i\cdot 0\cdot X}\right]=\mathbb{E} \left[1}\right]=1$

Значит у меня неверно,потому как в нуле у меня получается $\pi$.

Видимо, я что-то принципиально не так делаю.

[Brukvalub]

toreto в сообщении #1077847 писал(а):

$\varphi (t)=\sqrt{\pi}\cdot\dfrac{\sqrt{\pi}{\sqrt{2(t^2+1)}}}=\dfrac{\pi}{\sqrt{2(t^2+1)}}$

toreto в сообщении #1077860 писал(а):

Значит у меня неверно,потому как в нуле у меня получается $\pi$.

Разве?

[toreto]

Brukvalub в сообщении #1077862 писал(а):

Разве?

Немного поторопился, потому как видел, что явно не $1$. Получается $\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$. Но у меня пока не получается догадаться -- почему не сходится. Там у меня в арифметике дело?

[NSKuber]

toreto в сообщении #1077847 писал(а):

$\varphi (t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2-t^2y^2}dy\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{(x-ity)^2}{2}\right)\,dx.$

Где-то вот тут вы начали творить какие-то непристойности с интегралами.

[toreto]

Спасибо! Там нельзя было вносить под дифференциал? А что нужно было делать тогда, пока что других идей нет(

[NSKuber]

toreto
В первую очередь, нельзя было разбивать двойной интеграл на произведение однократных. Функция, которую вы оставили под вторым интегралом, от $y$ тоже зависит.

[toreto]

NSKuber в сообщении #1077891 писал(а):

toreto
В первую очередь, нельзя было разбивать двойной интеграл на произведение однократных. Функция, которую вы оставили под вторым интегралом, от $y$ тоже зависит.

Разве по теореме фубини нельзя разбить на повторные таким образом? А как тогда иначе быть? Может к полярным координатам перейти?

[NSKuber]

toreto
На повторные - можно. Только вы ещё повторные каким-то образом превратили в произведение однократных.