OstromirНасколько я понимаю, вы хотите доказать неравенство
![$(1+p)^r\geqslant 1+rp$ $(1+p)^r\geqslant 1+rp$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/0/b60c9c9ddfb34f91a8d5a3e9cc8dd07b82.png)
для всех целых чисел
![$r\geqslant 0$ $r\geqslant 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/3/af37970714d60337a7578b124808a7d782.png)
и любых действительных
![$p>-1$ $p>-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/a/1ea1b4dee7a52d6bd39b7dc87fbfe53382.png)
. (Вы напрасно это не написали сразу, особенно если я не угадал.)
Вот вы хотите установить, что если уж оно верно для числа
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
и какого-нибудь показателя
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
- то тогда для
![$r+1$ $r+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/d/27ddbf8fed3fa697b24eafe49e7ddad282.png)
тоже. Вы знаете, что
![$(1+p)^r\geqslant 1+rp$ $(1+p)^r\geqslant 1+rp$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/0/b60c9c9ddfb34f91a8d5a3e9cc8dd07b82.png)
. Как из этого знания понять что-нибудь про
![$(1+p)^{r+1}$ $(1+p)^{r+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77be631f8c813c0d467a836da5857e9f82.png)
?
Напоминаю: мы хотим получить ![$(1+p)^{r+1}\geqslant 1+(r+1)p.$ $(1+p)^{r+1}\geqslant 1+(r+1)p.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77ae9e3fce2e8e858337c946cf71e7c182.png)
Ну можно умножить исходное неравенство на
![$1+p$ $1+p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/6/d16f67ebc568b86973a0dafb5f44fcb582.png)
- получится что-то, где фигурирует
![$(1+p)^{r+1}$ $(1+p)^{r+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/b/77be631f8c813c0d467a836da5857e9f82.png)
. Я, конечно, не уверен, что сразу получится то, что надо - но почему не попробовать? Пробуем - и вот как раз получилось. Успех.
В данном случае автор подбирает простую функцию
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
, задаваемую простой формулой, такую что
![$f((1+p)^r)=(1+p)^{r+1}$ $f((1+p)^r)=(1+p)^{r+1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/d/48ddd0b1537c59e5a152c804186c1cd082.png)
. Вот он берет
![$f(x)=x(1+p)$ $f(x)=x(1+p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/3/393dec1e412c76110cccf276c0df1ce182.png)
, она проста, но вообще таких функций много. Можно предположить, что часто, не имея особых догадок, действуют методом тыка, перебирая сначала простые выражения, потом - сложные.
Вообще говоря, как-то так и бывает, но именно это неравенство естественно получается из известного разложения
![$(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+x^n$ $(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+x^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/d/a1d06cadd183824f30f6322d86ee03fe82.png)
(бином Ньютона). Доказательство по индукции, я думаю, придумали уже после того, как посмотрели на бином Ньютона.