Доказательство равенств (почему так)

[Ostromir]

Простите гуманитария, что залез в ваш форум.
Несмотря на то, что в школе математику знал на очень приличном уровне, все нынче забылось, но восхищение математикой осталось. Иногда открываю книжки где много матана и любуюсь формулами, как какой-нибудь эстет в Эрмитаже...
Теперь к делу: почитываю Куранта с его "Шо такое математика", там где он толково разъясняет про математическую индукцию. И как раз я опять столкнулся с вопросом, который меня сильно напряг в школе: то ли потому что в школе нам это не объяснили, то ли я не уловил.

Во многих доказательствах всяких равенств эти самые доказательства начинаются со слов: давайте разделим или умнжим обе части равенства на... а дальше идет выражение, на которое делится уравнение. Так вот делится не на x, не на какое-то число, а на многочлен. Типа $a-b^2$
Вопрос, как доказывающий определяет, на что надо разделить/умножить выражение?

Пример из Куранта

Цитата:

Если верно, что $(1 + p)r \geqslant 1 + rp$, то, умножая обе части неравенства на положительное число $1 + p$, мы получаем:
$(1 + p)^r^+^1 \geqslant 1 + rp + p + rp^2$.

Из каких соображений мы умножаем на 1+p?

Еще раз извините за банальный вопрос.

[provincialka]

Ну, если это доказательство индукцией по $\r$, то цель -- увеличить показатель степени на 1.

[Sonic86]

Ostromir в сообщении #1077703 писал(а):

Вопрос, как доказывающий определяет, на что надо разделить/умножить выражение?

В общем случае ответа нет. Далеко не всегда делят и умножают. Иногда производят предварительные и последующие сложные операции. В конкретных случаях и классах случаев можно что-то утверждать в общем. Но во всех случаях поиск правильного шага делается не особо известно как - видимо, это еще не формализованная часть знаний (м.б. она тривиальна). Но прикол в том, что для доказательства описание того, как ты нашел этот шаг, необязательно. Вот такой прикол.

В данном случае автор подбирает простую функцию $f$, задаваемую простой формулой, такую что $f((1+p)^r)=(1+p)^{r+1}$. Вот он берет $f(x)=x(1+p)$, она проста, но вообще таких функций много. Можно предположить, что часто, не имея особых догадок, действуют методом тыка, перебирая сначала простые выражения, потом - сложные.

[Ostromir]

Ок, но я помню по школе (по факультативам, ибо класс у нас был рабоче-крестьянский), есть класс задач на доказательство равенств, которые я просто не мог решить, потому что они решались исходя из вышеприведенного метода.
Ладно там умные математики а-ля Гёдель, Курант и Перельман, которые нутром чувствуют, что вот тут надо разделить на $5x^2\sin x-tgy$ и тогда теорема ферма равенство будет доказано.
Но как школьник должен придти к такому выводу?

Может, надо домножать на элементы равенства?
Я вообще не понимаю, почему мы в доказательствах начинаем модифицировать равенство.
Считаю, что в школах этот момент как-то игнорируется, тем самым не давая ученику получить математическое мышление (теперь то понятно как я стал гуманитарием :))))

[Slav-27]

Ostromir
Насколько я понимаю, вы хотите доказать неравенство $(1+p)^r\geqslant 1+rp$ для всех целых чисел $r\geqslant 0$ и любых действительных $p>-1$. (Вы напрасно это не написали сразу, особенно если я не угадал.)

Вот вы хотите установить, что если уж оно верно для числа $p$ и какого-нибудь показателя $r$ - то тогда для $r+1$ тоже. Вы знаете, что $(1+p)^r\geqslant 1+rp$. Как из этого знания понять что-нибудь про $(1+p)^{r+1}$?

Напоминаю: мы хотим получить $(1+p)^{r+1}\geqslant 1+(r+1)p.$

Ну можно умножить исходное неравенство на $1+p$ - получится что-то, где фигурирует $(1+p)^{r+1}$. Я, конечно, не уверен, что сразу получится то, что надо - но почему не попробовать? Пробуем - и вот как раз получилось. Успех.

Sonic86 в сообщении #1077712 писал(а):

В данном случае автор подбирает простую функцию $f$, задаваемую простой формулой, такую что $f((1+p)^r)=(1+p)^{r+1}$. Вот он берет $f(x)=x(1+p)$, она проста, но вообще таких функций много. Можно предположить, что часто, не имея особых догадок, действуют методом тыка, перебирая сначала простые выражения, потом - сложные.

Вообще говоря, как-то так и бывает, но именно это неравенство естественно получается из известного разложения $(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+x^n$ (бином Ньютона). Доказательство по индукции, я думаю, придумали уже после того, как посмотрели на бином Ньютона.

[Ostromir]

Цитата:

Насколько я понимаю, вы хотите доказать неравенство $(1+p)^r\geqslant 1+rp$ для всех целых чисел $r\geqslant 0$ и любых действительных $p>-1$. (Вы напрасно это не написали сразу, особенно если я не угадал.)

Не, это как пример.
Я спрашиваю вообще. Без увязки к конкретному равенству. Вопрос методологический.
Затык на моем пути к Олимпу математики, если хотите :))))

[Sonic86]

Slav-27 в сообщении #1077720 писал(а):

Насколько я понимаю, вы хотите доказать неравенство $(1+p)^r\geqslant 1+rp$ для всех целых чисел $r\geqslant 0$ и любых действительных $p>-1$. (Вы напрасно это не написали сразу, особенно если я не угадал.)

Кстати да - напрасно.

Ostromir в сообщении #1077723 писал(а):

Не, это как пример.

И этои пример Вы не написали напрасно, потому что Вас могли не понять.

Slav-27 в сообщении #1077720 писал(а):

Вообще говоря, как-то так и бывает, но именно это неравенство естественно получается из известного разложения $(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+x^n$ (бином Ньютона). Доказательство по индукции, я думаю, придумали уже после того, как посмотрели на бином Ньютона.

Ага, вполне вероятно Чисто для иллюстрации.

Ostromir в сообщении #1077718 писал(а):

Я вообще не понимаю, почему мы в доказательствах начинаем модифицировать равенство.

Кажется, это уже какой-то совсем другой вопрос. Если другой, я предлагаю Вам задать его подробнее, чтобы Вам отвечали именно на Ваш вопрос, а не на другой.

[Ostromir]

Цитата:

Кажется, это уже какой-то совсем другой вопрос.

согласен, простите. Это из другой области.

Сейчас мне бы понять, как подходить к решению этого класса задач.

Из ответов я пока понял, что это должен быть перебор? Или все-таки, как намекнули выше, поиск многочлена сужается до элементов равенства?

[Sonic86]

Ostromir в сообщении #1077729 писал(а):

Сейчас мне бы понять, как подходить к решению этого класса задач.

Так я же Вам и говорю:

Sonic86 в сообщении #1077712 писал(а):

В общем случае ответа нет.

и я думаю, что ответа в принципе быть не может.
Если бы Вы сузили класс задач с класса "задачи на индукцию" на более узкий класс, то м.б. что-то и можно было бы утверждать.

Например, можно рассмотреть класс задач вида "Доказать, что $a_1+a_2+...+a_n=F(n)$", где последовательность $a_n$ и $F(n)$ известны. Вот здесь индукция делается почти автоматически, если формулы для $a_n. F(n)$ достаточно просты (например, если $a_n, F(n)$ - элементарные функции). Для класса задача "доказать данное неравенство от натуральной переменной" просто так уже сделать нельзя. Какие еще у нас бывают задачи на индукцию?

Доказательство утверждения по индукции - это частично опыт, частично - искусство.

Кстати, есть книжка Пойа Как решать задачу. М.б. Вы там найдете еще некоторые подсказки общего характера.

[Ostromir]

Я понял ваш ответ.
Но в школе не озвучивался класс задач. Там было просто: докажите равенство. И если часть задач решалась преобразованием выражений по всяким там биноминальным формулам, то другая часть задач решалась именно "а давайте разделим...". Я вот читая щас книгу по математике, вспомнил, что именно эта проблема сильно озадачила меня в старших классах.

[iancaple]

Мне кажется пример неудачный

Slav-27 в сообщении #1077720 писал(а):

доказать неравенство $(1+p)^r\geqslant 1+rp$ для всех целых чисел $r\geqslant 0$ и любых действительных $p>-1$

Даже если Куранту нравится тут индукция , а Куранта принято любить.Это просто задачка на уравнение касательной к $(1+p)^r$ в точке $p=0$, плюс определить из выпуклости, при каких (действительных, при чем тут целые) $r$ по какую сторону от кривой эта касательная расположена.

[Xaositect]

А разве вычисление производной от $x^r$ не требует этого самого неравенства?

[iancaple]

Xaositect
Не требует, но многие авторы учебников им пользуются. Хотя бы не привязывать механически случай $r=0$ к $r\geq 1$, ведь между 0 и 1 неравенство идет в обратную сторону

[Sonic86]

Ostromir в сообщении #1077757 писал(а):

Я понял ваш ответ.
Но в школе не озвучивался класс задач. Там было просто: докажите равенство. И если часть задач решалась преобразованием выражений по всяким там биноминальным формулам, то другая часть задач решалась именно "а давайте разделим...". Я вот читая щас книгу по математике, вспомнил, что именно эта проблема сильно озадачила меня в старших классах.

Вот есть такой очень древний афоризм: "В математике нет царского пути". Вот это оно и есть - Вы об него и бьетесь. Нет и не может быть общего алгоритма решения задач. И для достаточно общего класса задач алгоритма тоже нет. Источник правильного хода, ведущего к ответу, может порождаться каким-то перебором действий с исходными данными, который неявно можете выполнить Вы или составитель задачи. А может и этого не хватит - м.б. потребуется просто знать решение какой-то другой, совсем иной задачи. Возможно, надо что-то просто заметить, какой-то факт или связь или что-то еще. Возможно потребуется какая-то аналогия в действиях, содержательная или синтаксическая. Часто бывает, что задачу решают каким-то длинным и сложным путем, требующим больших усилий, а потом занимаются его упрощением и обобщением. В процессе переделки решения задачи информация может теряться и после завершения переделки решение может показаться непонятно откуда взявшимся.
В школе и так времени мало на освоение дисциплин, если там будут еще и перебором заниматься - вообще времени не хватит.

Опять же: весь конструктив о решении задач Вы можете найти в упомянутой книге Пойа.

[Ostromir]

Поняяяятно, а я думал, когда авторы задачников формулируют упражнение для ботанов, они где-то в условии намекают путь решения. Из чего впоследствии у ученика складывается некий навык вычленения решения задач определенного типа....
[пошел читать Куранта]

(offtop: Курант в 1941 пишет о непрактичности двоичной системы счисления. А вот оно как обернулось-то )