Ряд Лорана и порядок полюса функции с радикалом

[eugrita]

Как понять каков порядок полюса функции и разложить в ряд Лорана в самом внешнем кольце
а)$\frac{1}{\sqrt{z}}$ при $|z|>0$
Б)$S(z)=\frac{1}{\sqrt{z-z_1}}$ в кольце $|z|>z_1$

Вариант б) раскладывается в ряд
$S(z)=\frac{1}{\sqrt{z}} \cdot (1+\frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z^2}+...)$
но это же не ряд Лорана?
и функции не мероморфные

[B@R5uk]

Если мне не изменяет память, полюс и точка ветвления — это две существенно разные особенности функции.

[Otta]

eugrita
Прочитайте свою предыдущую тему.

[eugrita]

Раз функции примеров а) и Б) аналитичны в своих внешних кольцах значит они обязаны раскладываться в ряд Лорана.
Пусть даже после выделения однозначных ветвей.
Как ее выделить? Какая иррегулярная часть?
Предыдущая тема в карантине - возиться неохота. Я тоже преподаватель и умею ставить вопросы в порядке от простого к сложному, как сейчас и делаю

[Otta]

eugrita
Вы можете назвать область, в которой аналитична функция $\sqrt z$?

[eugrita]

Я понял что $z=0$ для нее - точка ветвления, поэтому в любой односвязной области включающей ноль
нельзя выделить область аналитичности, но если односвязн область не содержит ноль то видимо можно выделить ветвь
и она будет в ней аналитична. Так?

[Otta]

Ну и что Вы предлагаете взять в качестве такой односвязной области?

[eugrita]

например половину кольца $1<|z|<2$ ,.....$0<\varphi< \pi$
(Я конечно понимаю что области могут перехлестывать сами себя. И сделал выбор аккуратно вроде)
Хотел бы сказать комплимент вообще некоторым женщинам преподавателям, но боюсь - забанят

[Otta]

Годится, берите.

[eugrita]

Ну так верно что правильный ответ на мой исходный вопрос звучит так?
фУНКЦИИ ПРИМЕРОВ А)Б) нельзя разложить в ряд Лорана в окрестности точки $z=0$
точно так же как и аналогичный вопрос на разложение в точке $z=0$ функции вида $\sqrt[3]{\frac {P_2(x)}{Q_2(x)}}$ из предыдущей темы кот сейчас в карантине?

[Otta]

a) - нельзя.
б) - у Вас там не окрестность нуля, а бог знает что. Какое-то кольцо. $z_1$ вещественный положительный что ли, как Вы его с модулем сравниваете?

-- 28.11.2015, 11:14 --

eugrita в сообщении #1077589 писал(а):

точно так же как и аналогичный вопрос на разложение в точке $z=0$ функции вида кубического радикала типа $\sqrt[3]{\frac {P_2(x)}{Q_2(x)}}$ из предыдущей темы кот сейчас в карантине?

Да, я там Вам это написала прямым текстом. Сожалею, что неохота было возиться.

[eugrita]

Виноват сам неточно сформулировал.
Верно ли что кольцо $|z|>|z_1|$функции примера Б) не является областью ее аналитичности и потому даже не приходится там говорить о разложении в рял Лорана? где $z_1$ -любое комплексное ?

[Otta]

Она не аналитическая однозначного характера. Если Вы, не выходя за пределы области, сделаете один оборот вокруг выкинутого круга, функция сменит знак на противоположный в одной и той же точке. А значит, Вы не можете выделить регулярную ветвь. А значит, разложить в ряд Лорана не получится.

Можно иначе: Ваша область является окрестностью бесконечности, которая будет точкой ветвления. В окрестности точки ветвления функции в ряды Лорана не раскладывают.

[eugrita]

Пусть меня забанят, но скажу правду. Я знаю одну женщину которая вместо М.Л. Лидова могла бы стать руководителем диплома в 1973-74 гг. И того что мне по-настоящему интересно, без всех этих подработок ради выживания
Это О.В.Холостова - преподаватель в МАИ и МФТИ. Однако МФТИ - привилегированная каста -
к себе близко не подпускают (см. например facebook)

[Otta]

Ok, вопрос исчерпан?