Бесконечно малые в вычислении пределов

[NSKuber]

A.M.V.
Я только что отредактировал сообщение. Теперь там есть пример, когда две бесконечно малые эквивалентны, а функции от них - нет.

[A.M.V.]

NSKuber в сообщении #1077378 писал(а):

A.M.V.
Я только что отредактировал сообщение. Теперь там есть пример, когда две бесконечно малые эквивалентны, а функции от них - нет.

Теперь Вы приводите пример б.м. разных порядков малости. Определение эквивалентных б.м. -в пределе их отношение равно 1.

[NSKuber]

A.M.V.
Спасибо, я знаю определение, и приведённые в примере $x$ и $x^2 + x$ ему удовлетворяют.

[provincialka]

A.M.V. в сообщении #1077377 писал(а):

Неправильный контрпример. Это две бесконечно большие функции.

А это вообще не важно! Если $\alpha(x)\sim \beta(x) $ -- бесконечно большие, то $\frac1{\alpha(x)}\sim \frac1{\beta(x) }$ -- бесконечно малые! А вместо $f(x)$ можно взять $g(x)=f(\frac1x)$

[A.M.V.]

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln ax}{\ln bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln a+\ln x}{\ln b+\ln x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\ln a/\ln x)+1}{(\ln b/\ln x)+1}=1.$$

[provincialka]

Хорошо! А теперь то же самое, но с синусами!

[A.M.V.]

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln 2\sin \frac{ax}{2}\cos\frac{ax}{2}}{\ln 2\sin \frac{bx}{2}\cos\frac{bx}{2}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln 2+\ln \sin \frac{ax}{2}+\ln \cos\frac{ax}{2}}{\ln 2+\ln \sin \frac{bx}{2}+\ln \cos\frac{bx}{2}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln 2/\ln \sin \frac{ax}{2}+1+\ln \cos\frac{ax}{2}/\ln \sin \frac{ax}{2}}{\ln 2/\ln \sin \frac{ax}{2}+1+\ln \cos\frac{bx}{2}/\ln \sin \frac{bx}{2}}=1.$$

[Otta]

Логарифм у последнего слагаемого потерялся. Как найдется - будет приемлемо.

Но можно было просто свести задачу к предыдущей.

[A.M.V.]

Otta в сообщении #1077465 писал(а):

Логарифм у последнего слагаемого потерялся. Как найдется - будет приемлемо.

Но можно было просто свести задачу к предыдущей.

Каким образом свести задачу к предыдущей?

[Otta]

Ну Вы же умеете работать с $\ln ax$. Сделайте желаемое из логарифма синуса. Кроме всяких специфических свойств, в Вашем распоряжении все арифметические операции. Можно домножать-делить, прибавлять-вычитать - как обычно.

[ewert]

Вообще-то, если совсем уж честно, то $\ln\sin ax=\ln\big(ax\cdot(1+o(1))\big)$ ...