Функция Дирака

[anatoli7]

"Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представленииях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора."-цитата

вопрос что у диагонального оператора гамильтониана к квантовой механике собственные функции - функции Дирака?
и что ортонормированная система собственных функций гамильтониана - система дельта-функций?
а разве есть доказательство ортонормированности дельта функций?

[Sicker]

Нет. Нет. Нет.

[anatoli7]

понятно что нет
для гармонич. осциллятора например оператор энергии (гамильтониан)
С. ф. являются функции Эрмита а не дельта-ф.
а есть примеры где Дельта-функции играют роль собственных функций оператора?

[Munin]

anatoli7 в сообщении #1075988 писал(а):

"Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представленииях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора."-цитата

И откуда эта цитата? (У нас принято указывать.)

На самом деле, так можно объяснить только "на пальцах" и "для нематематиков". Обычно такое встречается в учебниках квантовой механики для физиков, традиционно математически неаккуратных.

anatoli7 в сообщении #1075988 писал(а):

вопрос что у диагонального оператора гамильтониана к квантовой механике собственные функции - функции Дирака?
и что ортонормированная система собственных функций гамильтониана - система дельта-функций?
а разве есть доказательство ортонормированности дельта функций?

Смотря в каком представлении. В энергетическом - могут быть и функции Дирака (по энергии).
В энергетическом - может быть и да.
В некотором смысле да, но не в таком прямом, как хотелось бы.

anatoli7 в сообщении #1076019 писал(а):

понятно что нет
для гармонич. осциллятора например оператор энергии (гамильтониан)
С. ф. являются функции Эрмита а не дельта-ф.

Понятно, что вы пока не поняли, что такое представления (в квантовой механике). Это то же самое, что замена базиса в линейной алгебре или функциональном анализе.

[anatoli7]

спасибо цитата взята из
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/891306

-- 24.11.2015, 10:52 --

ожидал ответа например Оператор координаты к квантовой механике имеет собственной функцией дельта -функцию

[Red_Herring]

anatoli7 в сообщении #1076195 писал(а):

Оператор координаты к квантовой механике имеет собственной функцией дельта -функцию

Обобщённой собственной функцией. Это обсуждалось на форуме неоднократно.

[Munin]

anatoli7 в сообщении #1076195 писал(а):

спасибо цитата взята из
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/891306

Это на самом деле копипаста из Википедии. (Причём, может быть, устаревшая и некачественная.) А Википедия - сама по себе плохой источник. Её заполняют кто попало, а не специалисты.

Почитайте хорошие источники.
"Для физиков" - можно почитать учебники квантовой механики Ландау-Лифшица и Мессиа.
"Для математиков" - можно почитать учебник квантовой механики Фаддеева-Якубовского, или математическую литературу, которую предложит Red_Herring. (Можно почитать ещё Рихтмайера; обобщённые функции в нём названы распределениями, по англоязычной терминологии: distributions.)

-- 24.11.2015 15:12:49 --

anatoli7 в сообщении #1076195 писал(а):

ожидал ответа например Оператор координаты к квантовой механике имеет собственной функцией дельта -функцию

Вообще, любой оператор с непрерывным спектром имеет в собственном представлении собственной функцией (обобщённой) дельта-функцию.

Сначала с представлениями разберитесь.

[anatoli7]

спасибо за консультацию и ссылки!
О представлении оператора с непрерывным спектром где почитать (типа книги Рихтмайера)

-- 24.11.2015, 15:05 --

Речь шла о применении базиса из функций Дирака для задачи отличной от квантовой механики
просто опираясь на аппарат, разработанный в рамках спектральной теории для собственных функций непрерывных операторов описать процесс, но не в квантовой механике

-- 24.11.2015, 15:10 --

чуть попроще Данфорда Шварца ничего ли нет?

[g______d]

Про разложение по обобщённым собственным функциям довольно подробно написано в книге Березанский, "Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов".

Но эта книга, хотя сразу это не очевидно, предполагает знакомство со спектральной теоремой и, в частности, с понятием спектральной меры. А если Вы с ними разберётесь, то обобщённые собственные функции, скорее всего, не понадобятся.

[Sicker]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1076208 писал(а):

Обобщённой собственной функцией.

Вообще таки, если быть точным у оператора координаты нет собственной функции даже в обобщенном смысле, ибо дельта-функция не интегрируема с квадратом, ее квадрат неопределен.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1077345 писал(а):

Вообще таки, если быть точным у оператора координаты нет собственной функции даже в обобщенном смысле, ибо дельта-функция не интегрируема с квадратом, ее квадрат неопределен.

Вообще-таки обобщённая с.ф. потому и называется обобщённой, что она не принадлежит основному пространству, т.е. в данном случае $L^2$.

[amon]

Sicker в сообщении #1077345 писал(а):

Вообще таки, если быть точным у оператора координаты нет собственной функции даже в обобщенном смысле

Ну,тогда ее нет и у оператора импульса, поскольку:
1. В классической механике существует каноническое преобразование (к стати, какое?), переставляющее "координаты" и импульсы. Сделали это, и погнали квантовать.
2. Оператор координаты в $p$-представленеии аккурат $e^{-ipx}$
3. $\int e^{ipx}e^{-ip'x}dx=\delta(p-p')\Rightarrow \int e^{ipx}e^{-ipx}dx=\delta(0)$, а $\int \delta(x-x')\delta(x-x'')dx=\delta(x'=x'')$
Если над этими утверждениями помедитировать некоторое время, должно наступить просветление.