Бесконечно малые в вычислении пределов

[A.M.V.]

Изменяя на бесконечно малые эквивалентные функции можно решить предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln \cos ax}{\ln \cos bx} [\frac{0}{0}]:$

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln \cos ax}{\ln \cos bx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos ax-1}{\cos bx-1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(ax)^2}{{(bx)^2}}=\frac{a^2}{b^2}.$$

Можно ли этим методом решить $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln \sin ax}{\ln \sin bx} [\frac{\infty}{\infty}]$?

[ИСН]

А кто у Вас там будет бесконечно малый, например?

[Brukvalub]

A.M.V. в сообщении #1077262 писал(а):

Можно ли этим методом решить $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln \sin ax}{\ln \sin bx} [\frac{\infty}{\infty}]$?

Прежде всего, нужно определиться с областью определения числителя и знаменателя.

[A.M.V.]

$\sin ax\to0,\sin bx\to0$ при $x\to0$.

-- 27.11.2015, 12:33 --

ООФ: $\sin(ax)>0, \sin(bx)>0$.

[ИСН]

А, ну вообще можно, если аккуратно. Посмотрим, что получится.

[A.M.V.]

$\ln (1+x)\sim x$ при $x\to 0$. В задании $\ln (x)$ при $x\to 0$. Нужен другой путь. Какой?

[Brukvalub]

A.M.V. в сообщении #1077296 писал(а):

Нужен другой путь. Какой?

Позвать дедушку Лопиталя?

[A.M.V.]

Если использовать, например, правило Лопиталя, то получается

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{\cos ax \cdot a}{\sin ax}}{\frac{\cos bx \cdot b}{\sin bx}}=1.$$

"Неправильное" решение приводит к верному ответу:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+(\sin ax -1))}{\ln(1+(\sin bx -1))}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin ax -1}{\sin bx -1}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{ax -1}{bx -1}=1$$

[Brukvalub]

A.M.V. в сообщении #1077300 писал(а):

"Неправильное" решение приводит к верному ответу:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+(\sin ax -1))}{\ln(1+(\sin bx -1))}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin ax -1}{\sin bx -1}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{ax -1}{bx -1}=1$$

Еще одно "неправильное" решение с верным ответом:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+(\sin ax -1))}{\ln(1+(\sin bx -1))}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^7+1}{x^9+1}=1$$

Вывод: решать можно даже в темноте, главное, чтобы ответ совпал!

[A.M.V.]

Зря ехидничаете.

Задам вопрос по-другому. Какой еще метод помимо Лопиталя можно применить?

[Brukvalub]

A.M.V. в сообщении #1077306 писал(а):

Зря ехидничаете.

Как еще можно вам объяснить, что писАть чушь не нужно?

[A.M.V.]

A.M.V. в сообщении #1077306 писал(а):

Задам вопрос по-другому. Какой еще метод помимо Лопиталя можно применить?

[ИСН]

Замените бесконечно малые на эквивалентные. Логарифмы останутся, но хоть синусы уйдут.

[A.M.V.]

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln \sin ax}{\ln \sin bx}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln ax}{\ln bx}$$

[Brukvalub]

ИСН в сообщении #1077319 писал(а):

Замените бесконечно малые на эквивалентные. Логарифмы останутся, но хоть синусы уйдут.

Всегда ли функция от бесконечно малой будет эквивалентна той же функции от эквивалентной бесконечно малой?