Метод Рунге-Кутты для вектора

[mlle_a]

Otta в сообщении #1077200 писал(а):

mlle_a
Вы лучше скажите, что Вы решаете. Какое уравнение. Или что Вы там решаете. Про метод потом вспомните. А то смешались в кучу кони, люди.

В исходной постановке задачи никаких шагов нет. И номеров шагов тоже.

Например, такое уравнение $y'_i=Ay_{i-1}y_i+By_iy_{i+1}+Cy_{i+1}y_{i-1}$, $y_0=0$, где $A, B, C$- коэффициенты, $i$ от 1 до бесконечности, функция $y$ зависит от $x$.
Нужно найти $y_i$ (хотя бы численно)

[Otta]

За что отвечает индекс $i$? или, иначе, что такое $y_i$?

[mlle_a]

Otta в сообщении #1077245 писал(а):

За что отвечает индекс $i$? или, иначе, что такое $y_i$?

$y_i$ - это мои искомые функции. Если их расписать, то это будет так

$y'_1=f(x, (y_{0}, y_{1}, y_{2}))$
$y'_2=f(x, (y_{1}, y_{2}, y_{3}))$
и т.д.

или
$y'_1=Ay_{0}y_1+By_1y_2+Cy_2y_{0}$
$y'_2=Ay_{1}y_2+By_2y_{3}+Cy_{3}y_{1}$
и т.д.

И вот каждую из низ нужно посчитать методом Рунге-Кутты

[мат-ламер]

Интересно происхождение задачи. Похоже на дискретизацию некоего уравнения в частных производных. $i$ всё-же изменяется не до бесконечности, а до некоей конечной величины. Методы Рунге-Кутты конечно можно применять для решения уравнения в частных производных, но эта задача не простая. Для каждого шага по времени нужно составить глобальную (для всех $i$) систему уравнений (в нашем случае нелинейную), и затем решить её. Могут возникнуть разные неприятности. Задача явно не учебная.

[mlle_a]

мат-ламер в сообщении #1077984 писал(а):

Интересно происхождение задачи. Похоже на дискретизацию некоего уравнения в частных производных. $i$ всё-же изменяется не до бесконечности, а до некоей конечной величины. Методы Рунге-Кутты конечно можно применять для решения уравнения в частных производных, но эта задача не простая. Для каждого шага по времени нужно составить глобальную (для всех $i$) систему уравнений (в нашем случае нелинейную), и затем решить её. Могут возникнуть разные неприятности. Задача явно не учебная.

Это уравнение описывает некий процесс.
Задача аналитически еще не решена, поэтому нужно найти численное решение.
Для примера написала через попарное произведение и сумму, в реальности чуть по другому.
Можно написать непрерывный аналог $y'_x (i,x)=Ay(i-1,x)y(i,x)+By(i,x)y(i+1,x)+Cy(i+1,x)y(i-1,x)$.
Может есть какие-нибудь статьи/книжки/методы, отписывающие данную ситуацию?
Мы не знаем (потому что нет аналитического решения) каким уравнением задаются функций $y(i,x)$, поэтому уравнение для $y(i+1,x)$ тоже не знаем.
Но тем не менее требуется использовать для него Рунге-Кутты.
Может это из серии "Пусть $y(i,x)$ (где $i>0$) - это наши функции, связанные теми уравнениями; фиксируем $i$, считаем по $x$"?Не достаточно ли в данном случае того, что мы знаем вид правой части исходного уравнения?

Или может разности между ними рассмотреть?

[Утундрий]

mlle_a в сообщении #1078723 писал(а):

Может есть какие-нибудь статьи/книжки/методы, отписывающие данную ситуацию?

Есть поговорка, описывающая ситуацию исчерпывающим образом: "Слышал звон, да не знаю где он". Вы пытаетесь в муках родить некую (или ка́кую?) неведому зверушку, так как вам сказали, что "нужно применить Рунге-Кутта". Интересно, а если бы вам сказали, что "нужно применить преобразование Фурье", это хоть как-то изменило бы ваши рассуждения? Мне почему-то кажется, что нет.