Арифметический/алгебраический корень

[PeanoJr]

Цитирую кусок теории из одного учебного пособия:

Я правильно понимаю, что в том месте (которое я выделил желтым маркером), необходимо указать, что речь идет о четном k. Иначе - формула некорректна?

[Mikhail_K]

С одной стороны, да. С другой стороны, эта формула верна всегда, когда левая часть вообще определена в смысле указанного определения (а это определение отличается от обычно принимаемого в школьном курсе математики), в том числе и при нечётном $k$. В самом деле, если $k$ нечётное, то в случае неотрицательного $a$ формула верна, а в случае отрицательного арифметический корень не определён. Так что в каком-то смысле указание чётности $k$ не так уж и требуется.

[PeanoJr]

Mikhail_K в сообщении #1077165 писал(а):

С одной стороны, да. С другой стороны, эта формула верна всегда, когда левая часть вообще определена в смысле указанного определения (а это определение отличается от обычно принимаемого в школьном курсе математики), в том числе и при нечётном $k$. В самом деле, если $k$ нечётное, то в случае неотрицательного $a$ формула верна, а в случае отрицательного арифметический корень не определён. Так что в каком-то смысле указание чётности $k$ не так уж и требуется.

Если $a\geqslant{0}$, зачем там модуль?

[Mikhail_K]

Низачем. Если $a\geq 0$, то $|a|=a$ и формула верна и без модуля, но и с ним тоже верна.

-- 26.11.2015, 22:58 --

Просто формула без модуля будет работать только в случае, когда $a\geq 0$, а формула с модулем - во всех случаях, когда корень вообще определён.

[Munin]

Это всё вообще довольно дурацкие определения, расходящиеся в разных учебниках. И всё чтобы не сломать школьнику мозг многозначной функцией.

[ewert]

PeanoJr в сообщении #1077158 писал(а):

Иначе - формула некорректна?

Она ни разу не некорректна, она просто тупо неверна. В комплексном случае она просто бессмысленна, в вещественном же -- неверна и всё тут. При всех мыслимых пониманиях.

[Mikhail_K]

ewert, ну формально она верна, всегда когда левая часть существует в смысле указанного определения. Но я согласен, что это некрасивая и неясная формула без указания чётности $k$.

[ewert]

Неверна потому, что корень из степени равен исходному числу тупо по определению. Уж в каком смысле это определение корректно -- вопрос другой; но, во всяком случае, этот вопрос не имеет ни малейшего отношения к модулю. Там просто безграмотная запись.

Ладно, я тоже косноязычен, признаю. Но согласитесь: когда некий товарищ открытым текстом пишет, что, дескать, $\sqrt[3]{x^3}=|x|$ -- то как к некоему товарищу следует относиться?... Я и не выдержал. И не выдерживаю.