уравнение диффузии в 2D со смешанными граничными условиями

[mas19]

Доброго времени суток!
Помогите пожалуйста разобраться со следующим уравнением(необходимо получить аналитические решение):

$$ u_{xx}+u_{yy}=u_t \quad t>0, x \in (-\infty, \infty), y>0 $$

$$u(x_0,y_0,0)=\delta(x-x_0,y-y_0) $$

$$u_y(x,0,t)=0 $$

$$u(x_t,y_t,t)=0 $$

Симметрия нарушена и никакие стандартные схемы не работают. Буду очень благодарен за любую подсказку!

[Vince Diesel]

Что такое $(x_t,y_t)$. Точка, зависящая от $t$, т.е. на кривой ноль нужен или что?

[mas19]

Извините за конфуз, это просто точка в 2D в которой решение обнуляется , зависимости от $t$ нет.

[Vince Diesel]

Так ноль в точке или ноль на вертикальном луче $(x_0,y_0,t),\ t>0$? Формулировка неясна с такими обозначениями.

[mas19]

Ноль в фиксированной точке двумерного пространства$(x_t, y_t ) $ для любого $t>0 $
Начальные условия задаются в точке $(x_0,y_0) $ при $t=0 $

[Vince Diesel]

Не существует такой функции Грина.

[mas19]

Спасибо!!! Я так и подозревал! Не могли бы Вы, пожалуйста, пояснить, почему... (единственный довод, которым я распологаю - не могу найти решение, но он не кажется мне убедительным..)

[Vince Diesel]

Предположим противное и возьмем разность этой функции Грина и функции Грина для второй краевой задачи. Это будет регулярное решение второй краевой задачи с нулевыми данными. Если такое решение ограничено на бесконечности, то по теореме единственности это ноль тождественно.

[mas19]

Спасибо! Если я правильно понял, Вы говорите о разности между функциями Грина для задачи с начальным условиям и первым краевым условием $u_y(x,0,t)=0$ и функции Грина для задачи с начальным условиям и вторым краевым условием $u(x_t,y_t,t)=0 $ ?
Как вы считаете как может быть изменена область и краевые условия для $u_y$ , чтобы в итоге можно было найти аналитическое решение ?(допусти мы ищем решение не на $x \in (-\infty, \infty), y>0$, а на $x \in (-\infty, \infty), y \in (-\infty, \infty) $ или на полосе $x \in (-\infty, \infty), y \in (0,2y_t) $ ?)

[Vince Diesel]

mas19 в сообщении #1076318 писал(а):

Если я правильно понял, Вы говорите о разности между функциями Грина для задачи с начальным условиям и первым краевым условием $u_y(x,0,t)=0$ и функции Грина для задачи с начальным условиям и вторым краевым условием $u(x_t,y_t,t)=0 $ ?

Нет. Между функцией Грина второй КЗ

mas19 в сообщении #1076292 писал(а):

$$u_y(x,0,t)=0 $$

и предполагаемой функции Грина с условиями

mas19 в сообщении #1076292 писал(а):

$$u_y(x,0,t)=0 $$

$$u(x_t,y_t,t)=0 $$

mas19 в сообщении #1076318 писал(а):

Как вы считаете как может быть изменена область и краевые условия для $u_y$ , чтобы в итоге можно было найти аналитическое решение ?(допусти мы ищем решение не на $x \in (-\infty, \infty), y>0$, а на $x \in (-\infty, \infty), y \in (-\infty, \infty) $ или на полосе $x \in (-\infty, \infty), y \in (0,2y_t) $ ?)

Решение какой задачи? Второй краевой?

[mas19]

Спасибо еще раз, теперь все понятно!
Главный интерес для меня представляем задача в некоторой области $\Omega$ с границей $\delta \Omega$

$$u_{xx}+u_{yy}=u_t , \quad t>0,x,y \in \Omega$$

$$ u(x_0,y_0,0)=\detla(x-x_0,y-y_0), \quad (x_0,y_0) \in \Omega $$

$$u_y(x,y_{t},t)=0 \quad y_{t}= \delta \Omega $$

$$u(x_t,y_t,t)=0 \quad (x_t,y_t) \in \Omega$$

Также основной интерес был в поиске решения на неограниченной или частично ограниченной поверхности.

[Vince Diesel]

Интерес в поиске несуществующих решений?

[Munin]

Vince Diesel
То есть, по сути, задача получается переопределена?

[mas19]

Меня уверяли что они существуют , а я наивен.... тем не менее я должен заметить, если предположить, что мы рассматриваем область кольца , где на наружном кольце мы имеем краевое условие Неймана, а на внутренем краевое условие Дирихле, то решение найти можно, в цилиндрических координатах, разумеется.
Но раз , в глобальном смысле это совсем не так. Могли бы Вы посоветовать какой нибудь эффективный задачник, с упором именно на поиск решений используя функцию Грина?

[Vince Diesel]

Ну да. Если я правильно понимаю, что $u_y$ — производная по нормали, то это просто вторая краевая задача. Решение однозначно определяется данными. И тут вдруг добавляется требование, чтобы в некоторой фиксированной точке тела температура все время была равна нулю. Физически это странно, хотя математически надо доказывать, что таких решений нет.

-- Вт ноя 24, 2015 20:29:05 --

mas19 в сообщении #1076350 писал(а):

тем не менее я должен заметить, если предположить, что мы рассматриваем область кольца , где на наружном кольце мы имеем краевое условие Неймана, а на внутреннем краевое условие Дирихле, то решение найти можно, в цилиндрических координатах, разумеется.

Имеет. Ну так внутренняя граница это окружность, а не точка. Подозреваю, что если устремить радиус внутренней окружности к нулю, то получится просто решение задачи Неймана для круга. А в начале координат решение равно нулю не будет. Вот и будет иллюстрация, почему в отдельной точке дополнительного условия наложить не получится.